Eksistensi ukuran Haar

ABSTRAK

Ukuran Lebesgue λ adalah ukuran yang sering digunakan pada R^n. Ukuran Lebesgue memiliki beberapa sifat, diantaranya invarian translasi λ(A+x) =λ(A) dan regular λ(A)=inf{ Σ|Q_i |:A⊆⋃Q_i}. Pada pengaturan lebih umum dari R^n, seperti grup kompak lokal terdapat ukuran yang memiliki sifat yang mirip dengan ukuran Lebesgue, yaitu ukuran Haar μ. Ukuran Haar dikatakan invarian translasi jika dapat mentranslasi himpunan pada grup μ(xA)=μ(A) dan dikatakan reguler jika terbatas pada subhimpunan Borel μ^* (A)=inf{μ^* (U):A⊆U dan U∈U}. Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan pada grup kompak lokal terdapat ukuran Haar. Langkah pertama untuk membuktikan eksistensi ukuran Haar tersebut adalah dengan membuktikan kekompakan subset dalam grup. Selanjutnya membuktikan Lemma untuk mendapatkan batas fungsi dari ukuran Haar. Selanjutnya menurunkan sifat dari fungsi tersebut. Selanjutnya menggunakan subset tersebut untuk membangun ukuran luar μ^* sebagai batas ukuran Haar. Berdasarkan pembuktian tersebut diperoleh bahwa pada grup kompak lokal G terdapat ukuran Haar μ yang memiliki sifat invarian translasi dan reguler.

ABSTRACT

The Lebesgue measure λ is commonly used in R^n. The Lebesgue measure has several properties, including translation invariance λ(A+x) = λ(A) and regularity λ(A)=inf{ Σ|Q_i |:A⊆⋃Q_i}. In a more general setting of R^n, such as locally compact groups, there exists a measure with properties similar to the Lebesgue measure, known as the Haar measure μ. The Haar measure is said to be translation invariant if it can translate sets in the group μ(xA) = μ(A), and it is said to be regular if it is bounded on Borel subsets μ^* (A)=inf{μ^* (U): A⊆U and U∈U}. This research aims to prove the existence of the Haar measure in locally compact groups. The first step to prove the existence of the Haar measure is to establish the compactness of subsets within the group. Then, Lemma is proven to obtain the limit of the Haar measure function. The properties of the function are derived subsequently. The obtained subset is then used to construct the outer measure μ^* as the limit of the Haar measure. Based on the proof, it is concluded that there exists a Haar measure μ in locally compact group G with translation invariance and regularity properties.

مستخلص البحث

قياس لوبيغ λ يُستخدم عادة في R^n. يتمتع قياس لوبيغ بعدة خصائص، بما في ذلك التنقل الثباتλ(A+x) = λ(A) والقياسي λ(A)=inf{ Σ|Q_i |:A⊆⋃Q_i}. في سياق أعم لـ R^n، مثل المجموعات المدمجة المحلية، يوجد قياس يتمتع بخصائص مماثلة لقياس لوبيغ، يُعرف بقياس هار μ. يقال عن قياس هار التنقل الثبات إذا استطاع نقل المجموعات في المجموعة μ(xA) = μ(A)، ويقال عنه قياسي إذا كان محدودًا على مجموعات بوريل μ^* (A)=inf{μ^* (U): A⊆Uو U∈U}. هدف هذا البحث إلى إثبات وجود قياس هار في المجموعات المدمجة المحلية. الخطوة الأولى لإثبات وجود قياس هار هي تأكيد اندماج النماذج داخل المجموعة. ثم يُثبت اللمة للحصول على حد الدالة قياس هار. يتم استنتاج خصائص الدالة بعد ذلك. يُستخدم النموذج المحصل عليه لإنشاء القياس الخارجي μ^* كحد لقياس هار. استنادًا إلى الدليل، يُستنتج أن هناك قياس هار μ في المجموعة المدمجة المحلية G بخصائص التنقل الثبات والقياسي.