Sifat-sifat ukuran hausdorff pada himpunan Cantor

ABSTRAK

Penelitian ini membahas ukuran Hausdorff pada Himpunan Cantor. Himpunan Cantor merupakan salah satu contoh fraktal yang terdiri dari himpunan bilangan real yang memiliki dimensi 〖s_0= 〗^3 log⁡2. Tujuan penelitian ini untuk membuktikan sifat-sifat ukuran Hausdorff pada himpunan Cantor. Metode penelitian yang digunakan pada penelitian ini adalah kajian pustaka, karena penelitian ini mengkaji dan merekonstruksi penelitian sebelumnya. Berdasarkan Lemma 4.1 Ukuran Hausdorff pada himpunan Cantor disimbolkan dengan H^(s_0 ) (C). Sifat-sifat ukuran Hausdorff pada himpunan Cantor, yaitu: (i) Ukuran Hausdorff pada himpunan Cantor bernilai kurang dari sama dengan 1, (ii) Ukuran dari basic interval tahap k sama dengan menjumlahkan masing-masing interval tahap m untuk m>k, sehingga diperoleh banyak interval setiap tahapnya bernilai 2^(-k), (iii) Penjumlahan ukuran cover dari basic interval memiliki nilai yang sama dengan interval awal dari himpunan Cantor, yaitu 1, (iv) Ukuran Hausdorff dari kelas cover himpunan Cantor memiliki nilai yang sama dengan ukuran interval awal dari himpunan Cantor, (v) Penjumlahan dari ukuran interval σ yang merupakan anggota kelas subset buka R memiliki nilai kurang dari sama dengan ukuran subset buka R, (vi) Ukuran Hausdorff dari himpunan Cantor memiliki nilai yang sama dengan ukuran Hausdorff dari kelas cover himpunan Cantor, yaitu 1. Semua sifat-sifat ukuran Hausdorff pada himpunan Cantor telah dibuktikan pada penelitian ini. Penelitian ini memberikan pemahaman terkait himpunan Cantor, sekaligus memperkaya rujukan terkait teori ukuran Hausdorff dan pengaplikasiannya pada himpunan fraktal.

ABSTRACT

This research discusses the measure of Hausdorff in the Cantor set. The Cantor set is one example of a fractal consisting of a set of real numbers that have dimensions 〖s_0= 〗^3 log⁡2. This research aimed to prove the properties of the Hausdorff measure in the Cantor set. The research method used in this study is a literature review, because this study examines and reconstructs previous research. Based on Lemma 4.1, the Hausdorff measure on the Cantor set is defined by H^(s_0 ) (C). The properties of the Hausdorff measure on the Cantor set, are: (i) The Hausdorff measure on the Cantor set is less than equal to 1, (ii) The measure of the basic stage k interval is equal to summing each stage interval for m>k, so that many intervals are obtained each stage value 2^(-k), (iii) The sum of the cover measures of the basic interval has the same value as the initial interval of the Cantor set, which is 1, (iv) The Hausdorff measure of the Cantor set class cover has a value equal to the initial interval measure of the Cantor set, (v) The sum of the interval measures σ that are members of the class open subset R has a value less than equal to the size of the open subset R, (vi) The Hausdorff measure of the Cantor set has the same value as the Hausdorff measure of the Cantor set class cover, which is 1. All the properties of the Hausdorff measure in the Cantor set have been proven in this research. This research provides an understanding of the Cantor set, as well as encreasing references related to Hausdorff measure theory and its application to fractal sets.

مستخلص البحث

تناقش هذه الدراسة على مقياس هاوسدورف (Hausdorff) في مجموعة كانتور (Cantor). مجموعة كانتور (Cantor) هي من احدى الأمثلة على كسورية تتكون من مجموعة من الأعداد الحقيقية التي لها أبعاد 〖s_0= 〗^3 log⁡2. تهدف هذه الدراسة إلى إثبات خصائص مقياس هاوسدورف (Hausdorff) في مجموعة كانتور (Cantor). طريقة البحث المستخدمة في هذه الدراسة هي مراجعة الأدبيات ، لأن هذه الدراسة تدرس وتعيد بناء الأبحاث السابقة. على Lemma 4.1 يرمز إلى مقياس هاوسدورف (Hausdorff) على مجموعة كانتور (Cantor) بقياس يعتمد H^(s_0 ) (C). خصائص قياس هاوسدورف (Hausdorff) على مجموعة كانتور (Cantor)، وهي: (١) مقياس هاوسدورف (Hausdorff) على مجموعة كانتور (Cantor) أقل من يساوي 1، (٢) حجم فترة المرحلة الأساسية يساوي جمع كل فترة مرحلة لm>k، بحيث يتم الحصول على العديد من الفواصل الزمنية لكل مرحلةذات قيمة 2^(-k) ، (٣) مجموع أحجام غطاء الفاصل الزمني الأساسي له نفس قيمة الفاصل الزمني الأولي لمجموعة كانتور (Cantor)، وهو 1، (٤) مقياس هاوسدورف (Hausdorff) لفئة مجموعة كانتور (Cantor) له قيمة مساوية لقياس الفاصل الزمني الأولي لمجموعة كانتور (Cantor)، (٥) مجموع أحجام الفاصل الزمني σ التي هي أعضاء في فئة المجموعة الفرعية المفتوحة R له قيمة أقل من مساوية لحجم المجموعة الفرعية المفتوحة R، (٦) مقياس هاوسدورف (Hausdorff) لمجموعة Cantor له نفس قيمة مقياس هاوسدورف (Hausdorff) لفئة مجموعة كانتور (Cantor)، وهي 1 .تم إثبات جميع خصائص مقياس هاوسدورف (Hausdorff) في مجموعة كانتور (Cantor) في هذه الدراسة. يوفر هذا البحث فهما لمجموعة كانتور (Cantor)، بالإضافة إلى إثراء المراجع المتعلقة بنظرية قياس هاوسدورف (Hausdorff) وتطبيقها على مجموعات الفركتلات.