Kontrol optimal model epidemi SIR dengan pengobatan tersaturasi dan vaksinasi

INDONESIA:

Penelitian ini membahas model epidemi SIR (Susceptible, Infected, Recovered). Model SIR merepresentasikan laju dinamika penyebaran penyakit yang memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit yang bersifat stabil asimtotik ketika R_0<1 dan endemik yang bersifat stabil asimtosik ketika R_0>1. Penelitian ini terdapat dua kontrol yaitu pengobatan (u_2 ) dan vaksinasi (u_1 ). Pengobatan untuk populasi infected sedangkan program vaksinasi untuk populasi susceptible. Penyelesaian kontrol optimal di penelitian ini menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Prinsip tersebut dipergunakan untuk memperoleh syarat yang optimal, persamaan state, co-state. Hasil tersebut akan disimulasikan menggunakan Runge-Kutta orde 4. Pada penelitian ini terdapat tiga fungsi tujuan yaitu L_1,L_2, dan L_3. Pada Fungsi tujuan pertama (L_1 ) menurunkan populasi susceptible dan infected, fungsi tujuan kedua (L_2 ) hanya menurunkan populasi infected, sedangkan fungsi tujuan ketiga (L_3 ) meminimumkan populasi susceptible, infected serta memaksimumkan populasi recovered. Dari ketiga fungsi tujuan tersebut didapatkan fungsi tujuan yang memberikan pengaruh signifikan dalam menurunkan populasi susceptible, infected, dan peningkatan recovered yaitu pada L_1 dan L_3 dibandingkan ketika tidak ada kontrol. Pada hasil simulasi tidak terlihat perbedaan yang siginifkan pada L_1 dengan L_3. Sehingga dengan menggunakan L_1 biaya yang akan dikeluarkan akan lebih minimum dibandingkan dengan L_3. Oleh karena itu pemberian kontrol dengan menggunakan L_1 akan lebih efisien.

ENGLISH:

This study discusses the SIR (Susceptible, Infected, Recovered) epidemic model. The SIR model represents the dynamics of the spread of disease which has two equilibrium points, namely a disease-free equilibrium point which is asymptotically stable when R_0<1 and endemic which is asymptotically stable when R_0>1. In this study there were two controls, namely treatment (u_2 ) and vaccination (u_1 ). Treatment is for the infected population while the vaccination program is for the susceptible population. Completion of optimal control in this study using the Pontryagin maximum principle. This principle is used to obtain optimal conditions, state equations, shared states. These results will be simulated using Runge-Kutta order 4. In this study there are three objective functions, namely L_1,L_2,and L_3. The first objective function (L_1 ) reduces the susceptible and infected population, the second objective function (L_2 ) reduces only the infected population, while the third objective function (L_3 ) minimizes the infected susceptible population and maximizes the recovered population. From the three objective functions it is known that the objective function has a significant effect in reducing the susceptible, infected population, and increasing the recovered population at L_1 andL_3 compared to no control. In the simulation results there is no significant difference between L_1and L_3. So that by using L_1the costs that must be incurred will be minimal compared to L_3. Therefore giving control by using L_1 will be more efficient.

ARABIC:

تناقش هذه الدراسة نموذج الوباء SIR (الحساس ، المصاب ، المتعافي). يمثل نموذج SIR الديناميكيات انتشار المرض الذي يحتوي على نقطتي توازن ، وهما نقطة التوازن الخالية من الأمراض والتي تكون مستقرة بشكل مقارب عند R_0<1 والمتوطنة والتي تكون مستقرة بشكل غير متناسق عند R_0<1. في هذه الدراسة كانت هناك نوعين من الضوابط ، وهما العلاج (u_2) والتطعيم (u_1). العلاج هو للسكان المصابين بينما برامج التطعيم هي للسكان المعرضين للإصابة. تستخدم تسوية التحكم المثلى في هذه الدراسة مبدأ Pontryagin الأقصى. يستخدم هذا المبدأ للحصول على الظروف المثلى ومعادلات الحالة والحالات المشتركة. سيتم محاكاة هذه النتائج باستخدام ترتيب (Runge-Kutta 4). في هذه الدراسة هناك ثلاث الوظائف الموضوعية ، وهي L_1 و L_2 وL_3 .تعمل وظيفة الهدف الأولى (L_1) على تقليل السكان المعرضين والمصابين ، بينما تقلل الوظيفة الهدف الثانية (L_2) فقط من السكان المصابين ، بينما تقلل وظيفة الهدف الثالثة (L_3) من السكان المعرضين للإصابة والمصابين وتزيد من عدد السكان المتعافين. من بين الوظائف الموضوعية الثلاثة ، وجد أن الوظيفة الموضوعية كان لها تأثير كبير في تقليل الفئات المعرضة للإصابة والمصابة وزيادة السكان المتعافين ، وبالتحديد عند L_1 و L_3مقارنة عندما لم يكن هناك سيطرة. في نتائج المحاكاة ، لا يوجد فرق كبير بين L_1 و L_3. بحيث تكون التكاليف التي سيتم تكبدها عند استخدام L_1 أقل تكلفة مقارنة بـ L_3. لذلك فإن إعطاء التحكم باستخدام L_1سيكون أكثر كفاءة.