Kajian homomorfisme modul dan ring endomorfisme

INDONESIA:

Materi yang dibahas pada aljabar abstrak pada dasarnya tentang himpunan dan operasinya, dan selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen­elemen yang dioperasikan dengan satu atau lebih operasi biner. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner disebut struktur aljabar atau sistem aljabar.

Sistem aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifat­sifat tertentu dikenal dengan Grup. Sedangkan untuk himpunan yang tidak kosong dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat­sifat tertentu disebut dengan Ring. Pada sistem aljabar yang lain juga dibahas tentang modul. Misal (R, +, ..) dan (M,+) grup abelian. Jika ada pemetaan dari (R,M) .. M.. , yang memenuhi sifat­sifat:..
a) ..r ..s .. .. rm .. sm..,.. b) ....rs ....m .. r ....sm....,.. c) r ....m... n ..... rm ...rn.. dan untuk semua ..r, s .. R, m, n .. M.. .d ) 1m .. m.. ,

Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan, diantaranya adalah Homomorfisme. Misalkan M dan N adalah R­ modul dan ada pemetaan
....: M .. N.. yang homomorfisme R­modul jika dan hanya jika........ x ... y ............. x ...............y.... , ..x, y .. M ,..... R... Homomorfisme modul mempunyai tiga sifat, yaitu jika homomorfisme modul dari M ke N tersebut bersifat injektif (satu­satu) maka disebut monomorfisme, jika homomorfisme bersifat surjektif maka disebut epimorfisme, sedangkan jika mempunyai sifat kedua­duanya maka disebut isomorfisme. Sedangkan ring endomorfisme adalah himpunan semua homomorfisme modul dengan domain dan kodomaiannya sama dan himpunan tersebut membentuk ring yang disebut ring endomorfisme. Endomorfisme mempunyai tiga sifat, yaitu jika endomorfisme dari M ke M bersifat satu­satu maka disebut endomorfisme injektif, jika endomorfisme bersifat onto maka disebut endomorfisme surjektif, sedangkan jika mempunyai sifat kedua tersebut maka disebut endomorfisme bijektif. Jika M finite dan endomorfisme bersifat injektif, maka pasti bijektif dan jika M finite dan endomorfisme bersifat surjektif, maka pasti bijektif.

Untuk penulisan skripsi selanjutnya, penulis menyarankan kepada meneliti yang lain untuk mengadakan penelitian secara lebih mendalam mengenai modul homomorfisme dan ring endomomorfisme modul, dengan mencari sifat­sifat yang lain.