Aplikasi nilai Eigen untuk menentukan solusi persamaan diferensial parsial

INDONESIA:

Persamaan diferensial banyak muncul sebagai persamaan yang sangat penting dalam matematika terapan, karena terdapat permasalahan mengenai kuantitas bahwa perubahan terus menerus terhadap waktu dan ruang yang biasanya dapat digambarkan secara matematik dengan suatu persamaan diferensia parsial. Dalam fisika matematis, khususnya pada persamaan diferensial parsial terdapat persamaan yang sangat penting yang di dalamnya mengandung unsur nilai eigen dan mempunyai syarat batas tertentu yang disebut masalah nilai eigen. Dalam penerapannya masalah nilai eigen digunakan untuk menentukan nilai eigen yang dapat menentukan solusi persamaan diferensial parsial linier orde dua. Dalam penelitian ini akan diteliti bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial parsial linier orde dua, yaitu persamaan parabola dengan menggunakan nilai eigen. Masalah penerapan suatu ilmu untuk menyelesaikan suatu perkara dijelaskan Allah alam firmanNya Surat Al- Furqân/25: 2: ”................dan Dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya”. (QS Al-Furqân/25: 2)

Dalam penelitian ini digunakan bentuk umum dan contoh dari persamaan parabola. Menentukan solusi persamaan diferensial parsial dengan mengunakan nilai eigen adalah menggunakan langkah-langkah penyelesaian dan menggunakan bentuk umum nilai eigen dari bentuk umum persamaan parabola. Adapun dengan menggunakan langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut; (1) menentukan persamaan diferensial parsial, (2) menentukan syarat-syarat batas, (3) memisahkan variabel atau peubah, (4) menentukan masalah nilai eigen, (5) menentukan nilai eigen, (6) menentukan fungsi eigen dan (7) menentukan solusi persamaan diferensial parsial. Dengan menggunakan langkah-langkah tersebut diperoleh nilai eigen dalam bentuk riil, fungsi eigen dalam bentuk fungsi sinus dan cosinus dan solusi persamaan diferensial parsial berupa deret Fourier dan koefisien Fourier.

Nilai eigen dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan diferensial parsial, dalam penelitian ini pada persamaan parabola (kalor). Pada penelitian selanjutnya dapat diterapkan dalam persamaan diferensial parsial linier orde dua dalam bentuk yang lain, dan dapat juga digunakan program komputer untuk menyelesaikannya.