Ukuran lebesgue dalam garis bilangan real

INDONESIA:

Ukuran Lebesgue pertama kali ditemukan oleh Henry Leon Lebesgue, pada tahun 1875-1944. Ukuran Lebesgue dari A yang dinotasikan A merupakan ukuran himpunan A (ukuran dari suatu bilangan real nonnegatif). Oleh karena itu, ukuran Lebesgue dinobatkan sebagai pembuka pintu teori tentang ukuran dalam garis bilangan real. Berdasarkan latar belakang tersebut, penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk: menyebutkan, mendiskripsikan, menganalisis, dan membuktikan teorema-teorema yang berlaku pada ukuran Lebesgue dalam garis real.

Penelitian ini lebih bersifat analisis dan dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari buku-buku teks penunjang dan konsultasi dengan dosen pembimbing. Dalam hal ini penulis akan memaparkan dan menjelaskan definisi, menganalisis dan membuktikan kebenaran teorema-teorema ukuran Lebesgue yang terdiri dari: (1) Ukuran kumpulan terbuka terbatas, (2) Ukuran kumpulan tertutup terbatas, (3) Ukuran luar dan ukuran dalam, (4) Ukuran kumpulan terukur terbatas yang populer dengan Uji Caratheodory.

Teorema-teorema yang dianalisis dan dibuktikan kebenarannya, antara lain:
(1) Jika M menyatakan koleksi kumpulan terbuka terbatas dan menyatakan fungsi ukuran, maka : M bersifat:
(a) 0 G G M ;
(b) Gi M i 1,2 , G1 G2 ⇒ G1 G2 ;
(c) ...........
(d) ...........

(2) Jika H menyatakan koleksi kumpulan tertutup terbatas, maka : H bersifat:
(a) 0 F F H ;
(b) Fi H i 1,2 , F1 F2 ⇒ F1 F2 ;
(c) ...........