Dimensi dari grup dihedral

INDONESIA:

Grup dapat dipandang sebagai perumuman dari ruang vektor. Oleh karena itu, beberapa peneliti mengembangkan konsep basis dan dimensi pada grup. Dimensi dari suatu grup hingga G, dinotasikan dengan dim⁡(G), adalah minimal dari banyaknya kelas konjugasi yang membangun G. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan dimensi dari grup dihedral dan menentukan apakah pada grup dihedral berlaku dimensi subgrup normal kurang dari atau sama dengan dimensi grup. Langkah-langkah yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: Pertama, mendaftar kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D_2n, menentukan kelas konjugasi yang membangun grup dihedral D_2n, dan menentukan minimal dari banyaknya kelas konjugasi yang membangun grup dihedral D_2n untuk n=3,4,5,6,7,8. Selanjutnya, membuat dugaan dimensi dari grup dihedral D_2n untuk n∈Z,n≥3. Dengan cara yang sama dapat dicari dimensi setiap subgrup normal dari grup dihedral D_2n untuk n=3,4,5,6,7,8. Kemudian, membuat dugaan dimensi setiap subgrup normal dari grup dihedral D_2n untuk n∈Z,n≥3. Diberikan n∈Z,n≥3, diperoleh dimensi dari grup dihedral D_2n adalah
dim⁡(D_2n )=1 jika n ganjil
dim⁡(D_2n )=2 jika n genap
Selanjutnya, jika N adalah sebarang subgrup normal dari grup dihedral D_2n, maka berlaku
dim⁡(N)≤dim⁡(D_2n ).

ENGLISH:

Groups can be viewed as a generalization of vector spaces. Some researchers have developed the concept of bases and dimensions in groups. The dimension of a finite group G, denoted by dim⁡(G), is the minimal number of conjugacy classes in G which generate G. This study aims to determine the dimension of dihedral groups and determine whether in dihedral group the dimension of normal subgroup is less than or equal to the dimension of the group. The steps of this study are as follows: first, find the conjugacy classes of dihedral group D_2n, determine some conjugacy classes which generate dihedral group D_2n, and determine the minimal number of conjugacy classes which generate dihedral group D_2n for n=3,4,5,6,7,8. Furthermore, we make conjecture about the dimension of dihedral group D_2n for n∈Z,n≥3. In the same way, we can find the dimension of each normal subgroups of dihedral group D_2n for n=3,4,5,6,7,8. Moreover, we make a conjecture about the dimension of each normal subgroups of dihedral group D_2n for n∈Z,n≥3. Given n∈Z,n≥3, we obtained the dimension of dihedral group D_2n is
dim⁡(D_2n )=1 if n odd
dim⁡(D_2n )=2 if n even
Furthermore, if N is any normal subgroup of dihedral group D_2n then
dim⁡(N)≤dim⁡(D_2n ).

ARABIC:

يمكن عرض المجموعات كتعميم للمساحات المتجهة. طور بعض الباحثين مفهوم القواعد والأبعاد في مجموعات. أبعاد المجموعة المحدودة G، التي يُشار إليها بواسطة dim⁡(G)، هي الحد الأدنى لعدد فئات الاقتران في G التي تولد G. تهدف هذه الدراسة إلى تحديد أبعاد المجموعات ثنائية السطوح وتحديد ما إذا كان في المجموعة ثنائية السطوح أبعاد المجموعة الفرعية العادية أقل من أو يساوي بُعد المجموعة. خطوات هذه الدراسة هي كما يلي: أولاً ، ابحث عن فئات الاقتران لمجموعة ثنائية السطوح D_2n، وحدد بعض فئات الاقتران التي تولد مجموعة ثنائية السطوح D_2n ، وحدد الحد الأدنى لعدد فئات الاقتران التي تولد مجموعة ثنائية السطوح 〖 D〗_2nلـ n=3,4,5,6,7,8. علاوة على ذلك ، فإننا نضع تخمينًا حول أبعاد المجموعة ثنائية السطوح 〖 D〗_2nلـ n∈Z,n≥3. بالطريقة نفسها، يمكننا إيجاد أبعاد كل مجموعة فرعية عادية من المجموعة ثنائية السطوح D_2nلـ n=3,4,5,6,7,8. علاوة على ذلك، نقوم بعمل تخمين حول أبعاد كل مجموعة فرعية طبيعية من المجموعة ثنائية السطوح D_2n لـ n∈Z,n≥3. بالنظر إلى ،n∈Z,n≥3 حصلنا على بُعد المجموعة ثنائية السطوح D_2n هي:
n وتري dim⁡(D_2n )=1
n شفعي dim⁡(D_2n )=2
علاوة على ذلك ، إذا كانت N هي أي مجموعة فرعية طبيعية من المجموعة ثنائية السطوح D_2n إذن
〖.dim〗⁡(N)≤dim⁡(D_2n )