Degree Distance dan Gutman Index pada Graf Total dari Ring Komutatif Z2p

INDONESIA:

Misalkan R adalah sebuah ring komutatif, Graf total dari R, dinotasikan dengan T(Γ(R)) adalah graf yang titik-titiknya merupakan semua anggota dari R dan titik-titik yang berbeda x,y∈V(T(Γ(R))) akan terhubung langsung jika dan hanya jika x,y∈R dan x+y=Z(R). Degree Distance Index dari graf G didefinisikan sebagai:
DD(G)= ∑_({u,v}⊆V(G))▒〖(deg⁡(u)+deg⁡(v) )∙d(u,v) 〗.
Gutman Index dari graf G didefinisikan sebagai:
Gut(G)= ∑_({u,v}⊆V(G))▒〖(deg⁡〖(u)〗∙deg⁡〖(v)〗 )∙d(u,v),〗
di mana deg⁡〖(u)〗 merupakan derajat dari u dan d(u,v) merupakan jarak terpendek antara u dan v. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk umum dari Degree Distance dan Gutman Index pada Graf Total dari Ring Komutatif Z_2p dengan p merupakan bilangan prima dengan p≥3. Metode yang digunakan adalah metode penelitian kepustakaan atau studi literatur. Hasil penelitian ini sebagai berikut:
1. Bentuk umum Degree Distance Index pada Graf Total dari Ring Komutatif Z_2p, di mana p merupakan bilangan prima dengan p≥3 adalah:
DD(T(Γ(Z_2p )))=6p^3-4p^2.
2. Bentuk umum Gutman Index pada Graf Total dari Ring Komutatif Z_2p, di mana p merupakan bilangan prima dengan p≥3 adalah:
Gut(T(Γ(Z_2p )))=3p^4-2p^3.

ENGLISH:

Let R be a commutative ring, the total graph of R, denoted by T(Γ(R)), is a graph whose vertices are all elements of R and distinc vertices x,y∈V(T(Γ(R))) directly connected if and only if x,y∈R and x+y=Z(R). The Degree Distance Index of a graph G is defined as:
DD(G)= ∑_({u,v}⊆V(G))▒〖(deg⁡(u)+deg⁡(v) )∙d(u,v).〗
The Gutman Index of a graph G is defined as:
Gut(G)= ∑_({u,v}⊆V(G))▒〖(deg⁡〖(u)〗∙deg⁡〖(v)〗 )∙d(u,v)〗,
where deg⁡〖(u)〗 is the degree of u and d(u,v) is the shortest distance between u and v. This study aims to determine the general form of the Degree Distance and Gutman Index on the Total Graph of the Commutative Ring Z_2p where p is a prime number with p≥3. The method used is the library research method or literature study. The results of this study are as follows:
1. The general form of the Degree Distance Index on the Total Graph of the Commutative Ring Z_2p, where p is a prime number with p≥3 is:
DD(T(Γ(Z_2p )))=6p^3-4p^2.
2. The general form of the Gutman Index on the Total Graph of the Commutative Ring Z_2p, where p is a prime number with p≥3 is:
Gut(T(Γ(Z_2p )))=3p^4-2p^3.

ARABIC:

ليكن R حلقة تبديلية، الرسم البياني الكلي لـ R، ويرمز له بـ T(Γ(R))، هو رسم بياني تكون جميع رؤوسه عناصر R والرؤوس المميزة x,y∈V(T(Γ(R))) متصلة مباشرة إذا وفقط إذا x,y∈R و x + y = Z(R). يُعرف مؤشر مسافة الدرجة (Degree Distance) للرسم البياني G على النحو التالي:
DD(G)= ∑_({u,v}⊆V(G))▒〖(deg⁡(u)+deg⁡(v) )∙d(u,v) 〗.
يُعرّف فهرس جوتمان (Gutman) للرسم البياني G على أنه:
Gut(G)= ∑_({u,v}⊆V(G))▒〖(deg⁡〖(u)〗∙deg⁡〖(v)〗 )∙d(u,v)〗,
حيث deg⁡(u) هي درجة u و d (u، v) هي أقصر مسافة بين u و v. تهدف هذه الدراسة إلى تحديد الشكل العام لمؤشر مسافة الدرجة و فهرس جوتمان على الرسم البياني الكلي للحلقة التبديلية Z_2p حيث p هو عدد أولي مع p≥3. الطريقة المستخدمة هي طريقة بحث المكتبة أو دراسة الأدب. وفيما يلي نتائج هذه الدراسة:
1. الشكل العام لمؤشر مسافة الدرجة (Degree Distance) على الرسم البياني الكلي Z_2p الحلقة التبديلية، حيث p هو عدد أولي مع p≥3 هو:
DD(T(Γ(Z_2p )))=6p^3-4p^2.
2. الشكل العام لفهرس جوتمان (Gutman) على الرسم البياني الكلي Z_2p الحلقة التبديلية، حيث p هو عدد أولي مع p≥3 هو:
Gut(T(Γ(Z_2p )))=3p^4-2p^3.