Penerapan metode transformasi double laplace pada penyelesaian persamaan klein Gordon

ABSTRAK

Metode Transformasi Laplace merupakan salah satu metodde yang sering digunakan untuk mencari solusi eksak persamaan diferensial biasa dengan syarat awal tertentu. Metode tersebut dapat dilakukan dua kali berturut-turut dengan dua variabel bebas berbeda sehingga disebut metode transformasi double laplace ini. Beberapa sifat lain yang memuat dua peubah bebas juga diberikan sebagai perumuman dari sifat-sifat transformasi laplace tunggal. Lebih lanjut, solusi eksak untuk suatu persamaan diferensial parsial dengan syarat awal dan batas tertentu dapat diperoleh dengan menggunakan metode ini. Pada penelitian ini, metode transformasi double laplace diimplementasikan pada pencarian solusi eksak Persamaan Diferensial Parsial Linier (PDPL). Dalam hal ini, PDPL yang dibahas adalah persamaan klein gordon dengan syarat awal dan syarat batas ditentukan. Pada bagian akhir, solusi analitik dari persamaan tersebut dapat diperoleh dan sesuai dengan solusi eksak menggunakan metode analitik yang lain.

ABSTRACT

Laplace Transformation Method is a frequently used method to find exact solution of ordinary differential equation with a certain initial condition. The method can be implemented twice in a row using two different independent variables so that it called double laplace transformation method. Some other properties which contain two independent variables also given as a generalization of single laplace transformation properties. Furthermore, exact solution for a partial differential equation with certain initial and boundary conditions can be obtained using this method. In this research, double laplace transformation method is implemented to find exact solution of Linear Partial Differential Equation. In this condition, the linear partial differential equation we discuss is Klein Gordon equation with certain initial and boundary conditions. In the final result, we obtain the analytical solution of the equation and this solution appropiate with exact solution using another analytical solution.

مستخلص البحث

طريقة تحويل لابلاس هي طريقة تستخدم غالبًا لإيجاد حلول دقيقة للمعادلات التفاضلية العادية بشروط أولية معينة. يمكن تنفيذ هذه الطريقة مرتين على التوالي باستخدام متغيرين مستقلين مختلفين ، ولذلك تسمى هذه الطريقة طريقة تحويل لابلاس المزدوج. يتم أيضًا تقديم العديد من الخصائص الأخرى التي تحتوي على متغيرين مستقلين كتعميمات لخصائص تحويل لابلاس الواحد. علاوة على ذلك ، يمكن الحصول على حل دقيق لمعادلة تفاضلية جزئية بشروط أولية وحدودية باستخدام هذه الطريقة. في هذه البحث ، تم تنفيذ طريقة التحويل المزدوج لابلاس لإيجاد الحل الدقيق للمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية. في هذه الحالة ، فإن المعادلة التي تتم مناقشتها هي معادلة كلاين-جوردون مع الشروط الأولية والحدية المحددة. أخيرًا ، يمكن الحصول على حل تحليلي للمعادلة ويتوافق ذلك مع حل دقيق باستخدام طرق تحليلية أخرى