Modifikasi metode newton-secant dalam penyelesaian persamaan nonlinier yang memiliki multiplisitas m>1

INDONESIA :

Penelitian ini membahas tentang analisis modifikasi metode Newton-Secant dan penyelesaian persamaan nonlinier yang memiliki multiplisitas m>1 menggunakan modifikasi metode Newton-Secant. Persamaan nonlinier yang memiliki multiplisitas m>1 artinya persamaan nonlinier tersebut memiliki kesamaan akar lebih dari satu. Adapun langkah pertama untuk melakukan analisis modifikasi metode Newton-Secant, yakni melakukan konstruksi model matematika metode Newton-Secant dengan menggunakan konsep metode Newton dan konsep metode Secant. Langkah kedua melakukan konstruksi model matematika modifikasi metode Newton-Secant dengan menambahkan parameter θ. Setelah diperoleh rumus modifikasi metode Newton-Secant selanjutnya menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan persamaan nonlinier yang memiliki multiplisitas m>1. Dalam hal ini diterapkan pada persamaan nonlinier f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 yang memiliki multiplisitas m=5. Penyelesaian dilakukan dengan pemilihan dua nilai awal yang berbeda, yakni -0,8 dan -0,2. Selanjutnya untuk mengetahui keefektifan dari modifikasi metode Newton-Secant maka dilakukan perbandingan dengan metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Newton-Secant yang belum dimodifikasi. Hasil yang diperoleh dari analisis modifikasi metode Newton-Secant berupa rumus iterasi modifikasi metode Newton-Secant. Kemudian untuk hasil penyelesaian f(x)=(cos^2⁡x+5)^5 menggunakan modifikasi metode Newton-Secant dengan dua nilai awal yang berbeda diperoleh akar x secara hampiran, yakni -0,641714371 dengan iterasi kurang dari 5. Sedangkan ketika dikerjakan menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Newton-Secant juga diperoleh akar x secara hampiran, yakni -0,641714371 dengan iterasi lebih dari 50. Berdasarkan permasalahan mencari akar persamaan nonlinier f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 dapat disimpulkan bahwa modifikasi metode Newton-Secant lebih efektif jika dibandingkan dengan metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Newton-Secant yang belum dimodifikasi.

ENGLISH :

This study discusses the analysis of the modification of Newton-Secant method and solving nonlinear equations having a multiplicity of m>1 by using a modified Newton-Secant method. A nonlinear equation that has a multiplicity m>1 is an equation that has more than one root. The first step is to analyze the modification of the Newton-Secant method, namely to construct a mathematical model of the Newton-Secant method using the concept of the Newton method and the concept of the Secant method. The second step is to construct a modified mathematical model of the Newton-Secant method by adding the parameter θ. After obtaining the modified formula for the Newton-Secant method, then applying the method to solve a nonlinear equations that have a multiplicity m>1. In this case, it is applied to the nonlinear equation f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 which has a multiplicity of m = 5. The solution is done by selecting two different initial values, namely -0.8 and -0.2. Furthermore, to determine the effectivity of this method, the researcher compared the result with the Newton-Raphson method, the Secant method, and the Newton-Secant method that has not been modified. The obtained results from the analysis of modification of Newton-Secant method is an iteration formula of the modified Newton-Secant method. And for the result of f(x)=(cos^2⁡x+5)^5 using a modified Newton-Secant method with two different initial values, the root of x is obtained approximately, namely -0.641714371 with less than 5 iterations. whereas when using the Newton-Raphson method, the Secant method, and the Newton-Secant method, the root x is also approximated, namely -0.641714371 with more than 50 iterations. Based on the problem to find the root of the nonlinear equation f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 it can be concluded that the modified Newton-Secant method is more effective than the Newton-Raphson method, the Secant method, and the Newton-Secant method that has not been modified.

ARAB :

ناقش هذا البحث العلمي عن تحليل تعديل طريقة نيوتن-سيكانت وحل المعادلات غير الخطية التي لها تعددية م>١ باستخدام طريقة التعديل نيوتن-سيكانت. تعني المعادلة غير الخطية التي لها تعددية م>١ أنها تستحق المساواة الجذرية أكثر من واحد. فالخطوة الأولى لتحليل تعديل طريقة نيوتن-سيكانت هي بناء النموذج الرياضي لطريقة نيوتن-سيكانت باستخدام مفهوم طريقة نيوتون ومفهوم طريقةسيكانت. الخطوة الثانية هي بناء النموذج الرياضي المعدل لطريقة نيوتن-سيكانت عن طريق إضافة θ. بعد الحصول على الرمز المعدلة نيوتن-سيكانت، قامت الباحثة بتطبيق الطريقة لحل المعادلات غير الخطية التي لها تعددية م>١. في هذه الحالة، طبق فى المعادلة غير الخطية f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 التي لها تعددية م=٥. تم الانهاء باختيار قيمتين أوليتين مختلفتين هما ٠٬٨− و ٠٬٢−. بالتالي، لتحديد الفعالية من طريقة نيوتن-سيكانت، يتم إجراء مقارنة مع طريقة نيوتون-رابسون ، طريقةسيكانت وطريقة نيوتن-سيكانت التي لم تعدل أصلا. بالنسبة إلى النتيجة المحصولة من تحليل طريقة نيوتن-سيكانت المعدلة هي رمز التكرار المعدل لطريقة نيوتن-سيكانت. وبالنسبة إلى النتيجة من انهاء f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 باستخدام المعدلة نيوتن-سيكانت بنتيجتين أولتين مختلفتين، فتحصل التسوية المحور السيني -x أعني۰٬٦٤١٧١٤٣٧١− بالتكرار أقل من ٥. أما في القيام باستخدام طريقة نيوتون-رابسون، طريقةسيكانت وطريقة نيوتن-سيكانت أيضا تحصل جذر السيني -x أعني۰٬٦٤١٧١٤٣٧١− بالتكرار أكثر من ٠٥. انطلاقا من المشكلة في البحث عن تسوية الجذر غير الخطية f(x)=(cos^2⁡x+x)^5 فتستنتج أن التعديل لطريقة نيوتن-سيكانت أكثر فعالا مقارنة بطريقة نيوتون-رابسون، طريقةسيكانت وطريقة نيوتن-سيكانت التي لم تعدل.