Isomorfisma dari grup matriks ke grup dihedral dari penempatan benteng yang tidak saling memakan pada papan catur

ABSTRAK:

Grup didefinisikan sebagai himpunan tak kosong dengan suatu operasi biner yang memenuhi 4 aksioma diantaranya bersifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memuat invers. Matriks adalah suatu susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan atau skalar-skalar, bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut dinamakan sebagai entri atau elemen dalam matriks. Grup Matriks adalah suatu himpunan matriks M_(n×n) yang invertibel dengan operasi biner yang memenuhi 4 aksioma sebagai syarat grup. Grup dihedral-2_n adalah suatu grup yang anggotanya terdiri dari simetri-simetri pada segi n beraturan yang memuat rotasi dan refleksi dan dinyatakan dengan D_2n={1,r,r^2,…r^(n-1),s,sr,〖sr〗^2,…〖sr〗^(n-1)}. Misalkan G dan H adalah grup, G isomorfik terhadap H jika terdapat suatu pemetaan f∶G→H yang bersifat homomorfisma dimana f merupakan korespondensi 1-1 dan onto, maka f disebut isomorfisma grup. Penempatan benteng yang tidak saling memakan adalah pergerakan benteng pada posisi yang tidak sekolom dan sebaris pada papan catur berukuran 3×3,4×4, dan 5×5.
Pembahasan pada penelitian ini dibatasi pada papan catur berukuran 3×3,4×4, dan 5×5. Berdasarkan hasil penelitian ini diperoleh matriks dari penempatan benteng yang tidak saling memakan pada papan catur berukuran 3×3 adalah sebanyak 6, 4×4 adalah sebanyak 24, dan 5×5 adalah sebanyak 120. Suatu himpunan matriks dari penempatan benteng yang tidak saling memakan pada papan catur berukuran 3×3,4×4, dan 5×5 dengan operasi perkalian memenuhi 4 aksioma grup yaitu tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memuat invers. Terdapat isomorfisma dari grup matriks dari penempatan benteng yang tidak saling memakan ke grup dihedral pada papan catur berukuran 3×3,4×4, dan 5×5. Bagi penelitian selanjutnya diharapkan untuk dapat meneliti penempatan benteng yang tidak saling memakan pada papan catur berukuran n×n.

ABSTRACT:

A group is defined as a non-empty set with a binary operation that satisfies four axioms including being closed, associative, having an identity element, and containing an inverse. The matrix is a right-angled arrangement of numbers or scalars, the numbers in the array are called entries or elements in the matrix. The group matrix in this study is a set of M_(n×n) invertible matrices with binary operations that meet four axioms as group conditions. A dihedral-2_n group is a group whose members consist of symmetries in a regular n-sided which contain rotations and reflections and are denoted by D_2n={1,r,r^2,…r^(n-1),s,sr,〖sr〗^2,…,
〖sr〗^(n-1)}. Let G and H be groups, G is isomorphic to H if there is a homomorphism f∶G→H mapping where f is a 1-1 and onto correspondence, then f is called a group isomorphism. The placement of rooks that do not capture each other is the placement of rooks in positions that are not in a column nor a row on 3×3,4×4, and 5×5 chessboard.
The discussion in this study is limited to a 3×3,4×4, and 5×5 chessboard. Based on the results of this study, the matrix for the placement of rooks that did not capture each other on a chessboard of size 3×3 is 6, 4×4 is 24, and 5×5 is 120. A set of matrices for the placement of rooks that did not capture each other on chessboard of size 3×3,4×4, and 5×5 with multiplication operation fulfills four group axioms, namely closed, associative, has identity elements, and contains inverse. There was an isomorphism of the matrix group from the placement of the rooks that do not capture each other to the dihedral groups on a chessboard of size 3×3,4×4, and 5×5. For further research, it is expected to be able to examine the placement of rooks that do not capture each other on a chessboard of size n×n.

مستخلص البحث:

عرف الفرقة بصفة مجموعة التي تتضمن بعمالية الثنائية المملؤة المسلمة الأربع منها مغلق، منظمة، لديها عامل الهوية، ومعكوس. صفوف هي تركيب المربع القائم من أعداد أو عددي. العدد في هذا التركيب يسمى بمداخل أعوامل المصفوفة. فرقة المصفوفة في هذه البحث يعني مجوعة الصفوف M_(n×n) التي تمكن عكسها على عمالية الثنائية التي مملوء أربع مسلمات بصفة شرط الفرقة. فرقة الثنائية -2n هي مجموعة التي عضوها تتركب على تناسقات في وجهة n منظمة التي تتضمن الدورة والمنعكس ويحقق على D_2n = {1,r,r^2,…r^(n-1),s,sr,〖sr〗^2,…〖sr〗^(n-1)}. فرقة g متشابه على H عندما ظهرت عمالية f∶ G  H وهو تماثل حيث تكون f هي المراسلات 1-1 وأونتو، لذلك سمي f بتماثل الفرقة المصفوفة من موضع الرخ التي غير الآكلة هو تحرك الرخ في موضوع غير عمود وصف على رقعة الشطرنج بقياس 3×3، 4×4، و5×5.
المباحث في هذا البحث محدود على رقعة الشطرنج التي قياسها 3×3، 4×4، و5×5. على أساس نتائج البحث يناله الصفوف من موضع الرخ غير الآكلة على رقعة الشطرنج قياسها 3×3 بلغ على6 ،4×4 بلغ على 24، و5×5 بلغ على 120. فرقة الصفوفة من موضع الرخ غير الآكلة في رقعة الشطرنج قياسها 3×3، 4×4 و5×5 بعمالية الضرب التي مملوء أربع مسلمات يعني مغلق، منظمة، لديها عامل الهوية، ومعكوس. هناك التشابه فرقة المصفوفة من موضع الرخ غير الآكلة إلى فرقة الثنائية في رقعة الشطرنج التي قياسها 5×5. يرجى في الباحث التالي لبحث موضع الرخ التي غير الآكلة في رقعة الشطرنج قياسها n×n.