Solusi numerik persamaan Fokker-Planck dengan metode implisit FTCS

INDONESIA:

Salah satu metode untuk memperoleh solusi numerik adalah metode implisit FTCS (Forward Time Center Space) yang mengubah setiap turunan dari persamaan diferensial menjadi bentuk beda maju untuk turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang menggunakan ekspansi deret Taylor.

Tujuan penelitian ini adalah memperoleh solusi numerik dengan metode implisit FTCS pada penyelesaian persamaan Fokker-Planck, yang kemudian dibandingkan dengan solusi analitik yang sudah diketahui sebelumnya untuk mengetahui error dari solusinya. Dalam pembahasan, penulis menggunakan persamaan Fokker-Planck yang memuat koefisien difusi dalam bentuk eksponensial. Langkah awal yang dilakukan adalah mengubah persamaan Fokker-Planck menjadi bentuk diskrit skema implisit FTCS. Kemudian, dari bentuk diskrit tersebut diperoleh bentuk matriks yang digunakan untuk menentukan solusi numeriknya. Setelah itu dibandingkan dengan solusi analitiknya. Langkah terakhir, dihitung besar error dari solusi.

Hasil penelitian ini, menunjukkan bahwa solusi numerik persamaan Fokker-Planck dengan metode implisit FTCS mendekati solusi analitiknya. Hal tersebut dapat dilihat dari besar error yang dihasilkan dari solusi sangat kecil atau mendekati nol.

ENGLISH:

One method for obtaining numerical solutions is implicit FTCS (Forward Time Center Space) method that change every derivative of differential equations into a form of forward different for time derivative and central different for space derivative using Taylor series expansion.

This research has a purpose to obtain the numerical solution with an implicit FTCS method to solve Fokker-Planck equation, which is then compared to its analytic solutions that are already known in advance to determine the error of the solution. In the discussion, the researcher use the Fokker-Planck equation that includes the diffusion coefficient in the exponential form. The first step is to change the Fokker-Planck equation into a discrete form of FTCS implicit scheme. Then from the discrete form the matrix form used to determine the numerical solution is obtained. Then compared to its analytical solutions. The final step is analyzing the error of both solutions.

The result shows that the numerical solution of the Fokker-Planck equation with implicit FTCS method is close to analitical solution. This can be seen from the resulted error which is very small or close to zero.

ARABIC:

طريقة واحدة للحصول على الحلول العددية هي طريقة FTCSالضمنية (Forward Time Center Space) التي تتغير كل مثيل المعادلات التفاضلية في أشكال الرق الأماي لمشتقات الوقت والفرق الوسطي لمشتقات الفضاء باستخدام تو سيع سلسلمةةتايلور.

وكان غرض هذه الدراسة هو لتحديد الحل العددي باستخدام طريقة FTCS ضمية على حلول معادلة Fokker-Planck، والتي يتم بعد ذلك مقارنة ها الحلول التحليلية التي هي معروفة بالفعل في وقت مبكر لتحديد الخطأ من الحل. في المناقشة، الكاتبة إستخدمة معادلة Fokker-Planck الذي يتضمن معامل الانتشار في شكل الأسي. الخطوة الأولى هي تغيير المعادلة Fokker-Planckالى شكل المنفضل من مخطط FTCS الضمنية. ثم من شكل منفصل يتم الحصول على شكل مصفوفة تستخدم لتحديد الحل العددي. و بعد ذلك مقارنة ألي الحلول التحليلية. الخطوة النهائية هي تحديدخطأ الحل.

وأظهرت نتائج هذه الدراسة أن الحل العددي لمعادلة Fokker-Planck بطريقة FTCS الضمنية اقترب حلول التحليلية. يمكن أن ينظر إليه من الخطأ الناتجة عن الحل هي صغيرة جدا أو قريبة من الصفر.