Kelas elemen nil-clean yang exchange

INDONESIA:

Misalkan R ring dan x∈R. Elemen x dikatakan elemen nil clean jika x=e+t untuk e idempoten di R dan t nilpoten di R. Jika x adalah elemen nil clean dan terdapat et dan t komutatif maka elemen x dikatakan elemen nil clean medium kiri . Elemen x adalah exchange jika terdapat e idempoten di R sehingga 1-e∈R(1-x). Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui karakteristik elemen exchange dan menunjukkan syarat elemen nil clean merupakan elemen exchange. Hasil penelitian ini adalah sebagai berikut:
Karakteristik elemen x yang exchange di ring yaitu:
Ada e^2=e∈R sehingga e-x∈R(x-x^2 ).
Ada e^2=e∈Rx dan c ∈R sedemikian sehingga (1-e)-c(1-x)∈J(R).
Ada e^2=e∈Rx sedemikian sehingga R=Re+R(1-x).
Syarat cukup bagi elemen nil clean merupakan elemen exchange adalah medium kiri.

ENGLISH:

Let a be ring R and a∈R. An element a is called nil clean if a=e+t for idempotent e in R and nilpotent t in R. This nil clean element a is called left medium nil clean if et and t commutative . An element a is called exchange if there is an idempotent e∈ Ra such that R=Re+R(1-a). This research aim to discuss some characteristics of the exchange element and sufficient condition for nil clean element to be exchange. The results of this study are as following:
Let x be an element of R. Element x is an exchange element will be equivalent to any following conditions.
There exists e^2=e∈R with e-x∈R(x-x^2).
There exists e^2=e∈Rx and c∈R such that (1-e)-c(1-x)∈J(R).
There exists e^2=e∈Rx such that R=Re+R(1-x).
A sufficient condition for nil clean element to be exchange is left medium.

ARAB:

في التمثيل R هي الحلقة وα∈R. فيقال عنصرα عنصر محو الصفري إذا كان α=e+t بقصد e هو عاطل في R و tهو لاقوة في R.اذاكانa عنصر محو الصفري مع et وكان t تبادليا،فسيتم ترك عنصر متوسط نظيف.العنصر a التبادل اذكان هناك e∈Ra متماثل مثل R=Re+R(1-a) تهدف هذا البحث لمعرفة سيمات وعنصر التبادل وإظهار شرط عنصر محو الصفري وهو عنصر التبادل.
فاستخدم منهج في هذا البحث دراسة وصفية بمراجع من بعض الكتب والمقالات. ونتائج هذه الدراسة كالتالي:
سيمات عنصر التبادل فيالحلقة يعني:
كان e^2=e∈R لهذا السبب e-x∈R (x-x^2)
كان e^2=e∈Rx و c∈R بحيث (1-e)-c(1-x)∈J(R)
كان e^2=e∈Rx بحيث R=Re+R(1-x).
الشرط لعنصر محو الصفري من عنصر التبادل هو متوسط اليسار