Analisis kestabilan model predator-prey dengan waktu tunda pada trophic transfer tidak sempurna

INDONESIA:

Model predator-prey pada trophic transfer tidak sempurna merupakan model interaksi antara dua jenis populasi yang memiliki respon fungsional bertipe Ivlev. Dalam model ini tingkat predasi prey oleh predator lebih kecil dari tingkat konversi prey yang dikonsumsi menjadi predator. Selanjutnya, model predator-prey ini dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial biasa non-linier bergantung waktu. Model matematika ini menggambarkan banyaknya individu disetiap popuasi pada jangka panjang. Dalam penelitian ini, pada populasi prey dilakukan penambahan faktor pemanenan dan waktu tunda. Pemanenan diasumsikan sebagai penangkapan prey yang dilakukan oleh manusia dalam ekosistem. Waktu tunda diasumsikan bagi populasi prey sebagai bentuk reproduksi dari satu generasi ke generasi lainnya.

Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat lima titik kesetimbangan, diantaranya menghasilkan dua titik kesetimbangan yang stabil. Dua titik kesetimbangan tersebut memiliki kondisi khusus yaitu ketika pemanenan h=0.1 dan ketika tidak ada pemanenan h=0.0. Model predator-prey dengan pemanenan h=0.1 memiliki titik kesetimbangan yang stabil adalah (x^*,y^*)=(0.5407115622 ,0.3475682133). Model predator-prey dengan pemanenan h=0.0 memiliki titik kesetimbangan yang stabil adalah (x^*,y^*)=(0.618123303 ,0.4634579675).

Hasil dari solusi numerik menunjukkan bahwa apabila model predator-prey ditambah dengan waktu tunda maka akan menghasilkan kestabilan dengan besaran waktu yang berbeda. Besarnya waktu tunda yang diberikan mengakibatkan kedua populasi untuk mencapai tingkat kestabilan pada titik kesetimbangan menjadi semakin lama dan begitu juga sebaliknya. Dalam penelitian ini belum sampai pada batasan pemanenan konstan pada kedua populasi, maka disarankan untuk penelitian selanjutnya diberikan perlakuan pemanenan berupa fungsi terhadap kedua populasi.

ENGLISH:

The predator-prey model incomplete trophic transfer is an interaction model between two types of population that have a functional response of type Ivlev. In this model, the predation rate of prey by predators is smaller than the conversion rate of prey consumed to predators. Furthermore, the predator-prey model is expressed in terms of a time-dependent non-linear system of ordinary differential equations. This mathematical model describes the number of individuals in each population in the long run. In this study, the prey population was added to the harvesting factor and time delay. Harvesting is assumed to be catching prey by humans in the ecosystem. The time delay is assumed for the prey population as a form of reproduction from one generation to another.

The results of this study indicate that there are five points of equilibrium, including two points of stable equilibrium. The two points of equilibrium have special conditions, namely when the harvest is h=0.1 and when there is no harvest h=0.0. The predator-prey model with harvesting h=0.1 has a stable equilibrium point (x^*,y^*)=(0.5407115622 ,0.3475682133). The predator-prey model harvesting with h=0.0 has a stable equilibrium point (x^*,y^*)=(0.618123303 ,0.4634579675).

The results of the numerical solution show that if the predator-prey model is added to the time delay it will produce stability with different time magnitudes. The amount of time delay given causes both populations to reach a level of stability at the equilibrium point to be longer and vice versa. In this study, it has not reached the limit of constant harvesting in both populations, yet it is recommended for further research to provide harvesting treatment in the form of a function for both populations.

ARABIC:

نموذج المفترس والفريسة في النقل الغذائي غير الكامل هو نموذج تفاعل بين نوعين من السكان على الأقل لهما استجابة وظيفية من النوع . Ivlev في هذا النموذج ، يكون معدل افتراس الفريسة من قبل الحيوانات المفترسة أقل من معدل تحويل الفريسة المستهلكة إلى الحيوانات المفترسة. علاوة على ذلك ، يتم التعبير عن نموذج المفترس والفريسة هذا من خلال نظام غير خطي يعتمد على الوقت من المعادلات التفاضلية العادية. يصف هذا النموذج الرياضي عدد الأفراد في كل مجموعة على المدى الطويل . في هذه الدراسة ، تمت إضافة عدد الفرائس إلى عامل الحصاد والتأخير الزمني. يفترض أن الحصاد يصطاد فريسة من قبل البشر في النظام البيئي. يُفترض أن التأخير الزمني لمجموعات الفرائس هو شكل من أشكال التكاثر من جيل إلى آخر.

تشير نتائج هذه الدراسة إلى أن هناك خمس نقاط توازن ، بما في ذلك نقطتا توازن مستقر. نقطتا التوازن لهما شروط خاصة ، أي عندما يكون الحصاد h=0.1 وعندما لا يكون هناك حصاد. h=0.0 نموذج المفترس والفريسة مع الحصاد h=0.1 له نقطة توازن مستقرة(x^*,y^* )=(0.5407115622 ,0.3475682133) .نموذج المفترس والفريسة مع h=0.0 له نقطة توازن مستقرة (x^*,y^* )=(0.618123303 ,0.4634579675).

تظهر نتائج الحل العددي أنه إذا تمت إضافة نموذج المفترس والفريسة إلى التأخير الزمني ، فسوف ينتج عنه استقرار بمقادير زمنية مختلفة. يؤدي مقدار التأخير الزمني المعطى إلى وصول كلا المجموعتين إلى مستوى من الاستقرار عند نقطة التوازن لتكون أطول والعكس صحيح. في هذه الدراسة ، لم تصل إلى حد الحصاد المستمر في كلا المجموعتين ، لذلك يوصى بإجراء مزيد من البحث لتوفير علاج الحصاد في شكل وظيفة لكلا المجموعتين.