Analisis differential transform method pada penyelesaian persamaan diferensial parsial parabolik orde empat

ABSTRAK:

Penelitian ini membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial parsial parabolik orde empat. persamaan tersebut memuat orde dua waktu dan orde empat ruang. Persamaan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan differential transform method. Differential transform method merupakan salah satu metode numerik yang solusinya menghasilkan solusi analitik dalam bentuk polinomial. Di mana solusi tersebut membentuk suatu deret Taylor. Metode tersebut dapat diterapkan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial parsial parabolik orde empat tanpa melalui tahap linearisasi. Differential transform method yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah differential transform berdimendi dua. Langkah pertama yaitu dengan mentransformasikan kondisi awal ke dalam bentuk fungsi transformasi diferensial dengan definisi differential transform method. Langkah selanjutnya mentransformasikan persamaan diferensial parsial parabolik orde empat ke dalam bentuk fungsi transformasi diferensial dengan definisi differential transform method. Langkah berikutnya yaitu dengan menggunakan kondisi awal dan persamaan yang telah ditransformasikan untuk mencari nilai U(k,h) untuk k dan h adalah bilangan asli, di mana U(k,h) merupakan fungsi transformasi dari u(x,t). Yang kemudian dengan menggunakan rumus invers transformasi diferensial akan diperoleh solusi perkiraannya. Tujuan dari penelitian ini adalah mencari solusi penyelesaian dari persamaan diferensial parsial parabolik orde empat, yang kemudian dicari keabsahannya dengan memasukkan solusi yang diperoleh ke dalam kondisi awalnya. Hasil dari penelitian ini akan berupa sebuah fungsi u(x,t) yang terekspansi dalam bentuk deret pangkat.

ABSTRACT:

This study discusses the solution of fourth order parabolic partial differential equations. The equation contains the order of two respect to times and the order of four respect to spaces. The equation will be solved using the differential transform method. Differential transform method is a numerical method whose solution produces analytical solutions in the form of polynomials, where the solution forms a Taylor series. The method can be applied to find the solution of fourth order parabolic partial differential equations without going through the linearization stage. The differential transform method used to solve the equation is a two-dimensional differential transform. The first step is to transform the initial conditions into the form of a differential transformation function with the definition of the differential transform method. The next step is to transform the fourth order parabolic partial differential equation into the form of a differential transformation function with the definition of the differential transform method. The next step is to use the initial conditions and equations that have been transformed to find the value of U(k,h) for k and h are natural numbers, where U(k,h) is a transformation function of u(x,t). Then using the inverse differential transformation formula, the approximation solution will be obtained. The purpose of this study is to find a solution to the fourth order parabolic partial differential equation, which is then sought its validity by entering the solution obtained in its initial condition. The result of this study will be in the form of a function u(x,t) that is expanded in the form of a power series.

مستخلص البحث:

تبحث هذه الدراسة في الانتمام من معادلات التفاضلية الجزئية المكافئة من الدرجة الرابعة. تحتوي المعادلة على ترتيب االزمنين وأربعة مساحات. سيتم حل المعادلة باستخدام طريقة التحويل التفاضلي. طريقة التحويل التفاضلية هي طريقة عددية ينتج حلها حلول تحليلية في شكل متعدد الحدود. حيث يشكل الحل سلسلة تايلور. يمكن تطبيق الطريقة لإيجاد حل المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة من الدرجة الرابعة دون المرور بمرحلة الخطية. طريقة التحويل التفاضلي المستخدمة في حل المعادلة هي تحويل تفاضلي ثنائي الأبعاد. الخطوة الأولى هي تحويل الحالة الأولى إلى شكل وضقة تحويل تفاضلي مع تعريف طريقة التحويل التفاضلي. والخطوة الثانية هي تحويل المعادلة التفضلي المكافئة من الرتبة الرابعة إلى شكل دال تحويل تفاضلي مع تحديد طريقة التحويل التفاضلي. والخطوة التالية هي استخدام الحالات والمعادلات الأولى التي تم تحويلها للعثور على قيمة U(k,h) ل k و h هي رقمان طبيعان، حيث U(k,h) هي وظيفة تحويل من u(x,t). ثم باستخدام صيغة التحول التفاضلي العكسي ، سيتم الحصول على الحل التقريبي. الغرض من هذه الدراسة هو إيجاد حل لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة من الدرجة الرابعة، التي يتم البحث عنها بعد ذلك عن طريق إدخال الحل الذي تم الحصول عليه في حالته الأولى. ستكون نتائج هذه الدراسة في شكل دال u(x,t) يتم توسيعها في شكل سلسلة طاقة.