Submodul dari modul bebas yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama

ABSTRAK:

Struktur aljabar merupakan salah satu materi yang dipelajari dalam matematika yang melibatkan satu atau lebih himpunan dan satu atau lebih operasi biner dengan memenuhi beberapa aksioma. Beberapa contoh sruktur aljabar dari yang paling sederhana hingga yang kompleks adalah grup, ring, ruang vektor, dan modul. Perlu diketahui bahwa modul terbentuk dari perkalian skalar antara grup dan ring. Modul tersebut terbentuk dari ring yang bersifat secara umum, yang disebut sebagai ring tumpuan. Apabila ring tumpuan modul adalah lapangan, maka modul tersebut disebut ruang vektor.
Sifat yang terdapat pada ring tumpuan mempengaruhi sifat modul. Sebagai contoh sifat khas pada lapangan, yaitu untuk setiap unsur taknolnya memiliki invers, membuat ruang vektor pasti memiliki basis. Begitu juga untuk subruangnya. Selain itu, basis pada subruang dapat diperluas menjadi basis ruang vektor.

Berbeda dengan modul atas ring secara umum. Jika modul tersebut adalah modul bebas, yaitu modul yang memiliki basis, maka submodulnya belum tentu bebas. Begitu juga dengan basis submodulnya belum tentu dapat diperluas menjadi basis modul.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui sifat submodul dari modul bebas atas daerah ideal utama. Penelitian ini dibatasi pada modul yang dibangun secara hingga. Hasil dari penelitian ini adalah:
1. Submodul dari modul bebas yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama adalah bebas.
2. Basis submodul dari modul bebas yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama tidak dapat diperluas menjadi basis modul. Tetapi, kelipatan beberapa unsur basis modulnya dapat membentuk basis bagi submodul.
Bagi penelitian selanjutnya diharapkan dapat mengkaji sifat submodul dari modul bebas atas ring tumpuan lainnya.

ABSTRACT:

The algebraic structure is one of the materials studied in mathematics involving one or more sets and one or more binary operations fulfilling some axioms. Some examples of algebraic structure from the simplest to the complex are groups, rings, vector spaces, and modules. Modules are formed from scalar multiplication between group and ring. The module is formed from a common ring, which is referred to as the base ring. If the base ring of module is a field, then the module is called vector space.

Properties in the base ring affect the properties of the module. As an example the properties of the field, i.e. for every nonzero element has an inverse, making the vector space definitely has a basis. Likewise for his subspace. In addition, the basis on the subspace can be expanded into a vector space basis.

It is different from the module over general ring. If the module is a free module, which is a module that has a basis, then its submodules are not necessarily free. Likewise, its submodules basis may not necessarily be expanded to a module basis.

The purpose of the study is to know the submodule properties of the free modules over principal ideal domain. This research is limited to modules that are finitely generated. The results of this study are:
1. Submodule of the finitely generated free module over principal ideal domain is
free.
2. The submodule’s basis of the finitely generated free module over principal ideal domain cannot be expanded to a module’s basis. However, multiples of some elements of the module’s basis can form a basis for submodules.
For further study, it is expected to examine the properties of submodules of free modules over other base rings.

الإيماني، شفاء قلبي. ۲۰۲۰. وحدات فرعية من الوحدات الحرة المبنية على أعلى المناطق المثالية. بحث جامعي. قسم رياضيات ، كلية العلوم والتكنولوجيا بجامعة الإسلامية الحكومية مولانا مالك إبراهيم بمالانج. المشرف:(1) الدكتور هيرور الرحمن الماجستير، (2) الدكتور أحمد باريزي الماجستير

الكلمات المفتاحية: المنطقة المثالية الرئيسية ، وحدة مجانية ، وحدة أعلى منطقة مثالية الرئيسية

التركيب الجبري هو أحد المواد التي تمت دراستها في الرياضيات والتي تتضمن مجموعة أو أكثر من العمليات الثنائية أو أكثر عن طريق تحقيق العديد من البديهيات. بعض الأمثلة على الهياكل الجبرية من أبسطها إلى أكثرها تعقيدًا هي المجموعات والحلقات ومساحات المتجهات والوحدات. يرجى ملاحظة أن يتم تشكيل وحدة عن طريق الضرب العددية بين المجموعة والحلقة. تتشكل الوحدة من حلقة عامة ، والتي تسمى حلقة التمثال. إذا كانت حلقة القدم بالوحدة النمطية عبارة عن حقل ، فيُطلق على الوحدة مساحة متجه.
تؤثر الخصائص الموجودة في حلقة التمثال على طبيعة الوحدة. على سبيل المثال ، تتميز خاصية الحقل ، لكل عنصر غير صفري بعكس ، مما يجعل مساحة المتجه يجب أن يكون لها قاعدة. وبالمثل بالنسبة للفضاء الفرعي. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن توسيع القواعد في الفضاءات الفرعية إلى قواعد الفضاء المتجه.
تختلف عن الوحدة في الحلبة بشكل عام. إذا كانت الوحدة النمطية وحدة نمطية مجانية ، أي وحدة نمطية لها قاعدة ، فإن الوحدة الفرعية ليست مجانية بالضرورة. وبالمثل ، قد لا يتم بالضرورة توسيع قاعدة الوحدات الفرعية لتصبح قاعدة للوحدة النمطية.
الغرض من هذه الدراسة هو تحديد الطبيعة الفرعية للوحدة الحرة على المنطقة المثالية الرئيسية. يقتصر هذا البحث على الوحدات التي بنيت في ما يصل إلى. نتائج هذه الدراسة هي:
۱. الوحدات الفرعية من الوحدات المجانية المبنية في المنطقة المثالية الرئيسية مجانية.
۲. لا يمكن تمديد قاعدة الوحدة الفرعية للوحدة المجانية التي تم بناؤها إلى المنطقة المثالية الرئيسية لتشمل قاعدة الوحدة النمطية. ومع ذلك ، يمكن أن تشكل مضاعفات بعض العناصر الأساسية للوحدة الأساس لوحدات فرعية
لمزيد من البحث ، من المتوقع أن تكون قادرًا على فحص خصائص الوحدات الفرعية للوحدات الحرة على حلقات التمثال الأخرى.