Indeks wiener dan indeks hiper-wiener pada graf total pembagi nol gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan

ABSTRAK:

Penelitian ini membahas tentang indeks Wiener dan indeks hiper-Wiener pada graf total pembagi nol gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan. Graf total pembagi nol dari gelanggang komutatif R merupakan graf yang himpunan titiknya adalah himpunan semua pembagi nol dari R, dan titik berbeda u dan v terhubung jika dan hanya jika uv = 0 dan u + v ∈ Z(R). Indeks Wiener pada sebuah graf terhubung G didefinisikan sebagai: W(G)= ∑_(u,v∈V(G))▒d(u,v) . Indeks hiper-Wiener pada graf terhubung G yang didefinisikan sebagai: WW(G)=1/2 (∑_(u,v∈V(G))▒〖[d(u,v)+〗 〖d(u,v)〗^2]). Penelitian ini bertujuan untuk mencari rumus umum indeks Wiener dan indeks hiper-Wiener pada graf total pembagi nol gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan yang diformulasikan dalam bentuk teorema. Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Langkah pertama penelitian ini adalah menentukan himpunan titik graf total pembagi nol pada gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan, yang kedua yaitu menentukan titik yang terhubung pada graf total pembagi nol pada komutatif dengan unsur kesatuan, yang ketiga yaitu menentukan gambar graf yang diperoleh dari setiap titik yang terhubung, selnjutnya menghitung jarak antar titik pada setiap graf yang diperoleh, kemudian menghitung indeks Wiener dan indeks hiper-Wiener dari setiap graf dan merumuskan dugaan tentang indeks Wiener dan indeks hiper-Wiener pada graf total pembagi nol gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan, dan yang terakhir yaitu membuktikan dugaan yang diperoleh. Hasil penelitian ini adalah untuk graf terhubung ZT(Z_4p), dimana p adalah bilangan prima, maka indeks Wiener pada graf tersebut adalah W(ZT(Z_4p))=〖(2p-2)〗^2 dan indeks hiper-Wiener pada graf tersebut adalah WW(ZT(Z_4p))=〖6p〗^2-13p+7.

ABSTRACT:

This research discusses about Wiener index and hyper-Wiener index of total zero divisor graph of commutative ring with unity. The total zero divisor graph of a commutative ring with unity R is a graph whose vertex set is the set of all zero divisors of R, and where two distinct vertices u and v are adjacent if and only if uv = 0 and u + v ∈ Z (R). The Wiener index of a connected graph G is defined as W(G)= ∑_(u,v∈V(G))▒d(u,v) . The hyper-Wiener index of a connected graph G is defined as WW(G)=1/2 (∑_(u,v∈V(G))▒〖[d(u,v)+〗 〖d(u,v)〗^2]). This research aims to determine the general formula of Wiener index and hyper-Wiener index of the total zero divisor graph of commutative ring with unity. This research uses the literature study method. The first step of this research is to determine the set of the vertices of the total zero divisor graphs of the commutative ring with the unity, the second is to determine the vertices that are connected in the total zero divisor graph of the commutative ring with unity, the third is to determine the graph obtained from the prior step, then calculates the distance between vertices on each graph, then calculates the Wiener index and hyper-Wiener index of each graph and formulates the conjectures about the Wiener index and hyper-Wiener index of the total zero divisor graph of the commutative ring with unity, and the last is to prove the conjectures. The results of this study are for connected graphs ZT(Z_4p), where p is a prime number, the Wiener index of the graph is W(ZT(Z_4p))=〖(2p-2)〗^2 and the hyper-Wiener index of the graph is WW(ZT(Z_4p))=〖6p〗^2-13p+7.

مستخلص البحث:

تناقش هذه الدراسة عن مؤشر وينر(Wiener) ومؤشر فرط-وينر (hyper-Wiener)على الرسم الرسم البياني لإجمالي المقسوم عليه بالحلقة التبلية بدون فواصل مع عنصر الوحدة. الرسم البياني لإجمالي المقسوم عليه صفر من الساحة التبادلية R هو رسم بياني فيه مجموعة نقاطه هي مجموعة كل قواسم الصفر R، ونقطة u و v نقط المبعتلنتان متصلتلا إذا uv = 0 و u + v ∈ Z(R)فقط. مؤشر وينر (Wiener)على رسم بياني متصل G معرف ك: W(G)= ∑_(u,v∈V(G))▒d(u,v) . مؤشر فرط-وينر(Wiener) على رسم بياني متصل G معرف ك : WW(G)=1/2 (∑_(u,v∈V(G))▒〖[d(u,v)+〗 〖d(u,v)〗^2]). تهدف هذه الدراسة إلى إيجاد الصيغة العامة للمؤشر وينر(Wiener) ومؤشر فرط-وينر(hyper-Wiener) في الرسم البياني لمجموع الساحة التبادلية صفر مقسم مع عنصر الوحدة المصاغ في شكل النظري. يستخدم هذا البحث طريقة دراسة المرجعية. الخطوة الأولى من هذا البحث هي تحديد مجموعة نقاط من إجمالي الرسوم البيانية المقسومة على الساحة التبادلية مع عنصر الوحدة، والثانية هي تحديد النقاط المتصلة بالرسم البياني الإجمالي المقسوم على العنصر التبادلي، والثالث هو تحديد صورة الرسم البياني التي تم الحصول عليها من كل نقطة متصلة، ثم حساب المسافة بين النقاط في كل الرسم البياني تم الحصول عليه، ثم حساب المؤشر وينر(Wiener) ومؤشر فرط-وينر(hyper-Wiener) كل رسم بياني وصياغة تخمين حول المؤشر وينر(Wiener) ومؤشر فرط-وينر(hyper-Wiener) في الرسم البياني المقسوم الكلي للساحة التبادلية صفر مع عنصر الوحدة ، والأخير هو إثبات التخمين الذي تم الحصول عليه. نتائج هذه الدراسة هي الرسوم البيانية المتصلة ZT(Z_4p)، ألتي p هي الأعداد الأولية، ثم المؤشر وينر(Wiener) من الرسم البياني W(ZT(Z_4p))=〖(2p-2)〗^2 ومؤشر فرط-وينر(hyper-Wiener) من الرسم البياني WW(ZT(Z_4p))=〖6p〗^2-13p+7.