Analisis kestabilan global dan kontrol optimal model penyakit campak

INDONESIA:

Penelitian ini membahas tentang penyelesaian analisis kestabilan global model penyakit campak dengan menggunakan metode Fungsi Lyapunov dan Ukuran Lozinskii. Pada model yang digunakan terdapat dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa kestabilan dari titik kesetimbangan bebas penyakit adalah stabil asimtotik lokal, dan dengan mengunakan metode Fungsi Lyapunov didapatkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit tersebut stabil asimtotik global. Sedangkan untuk hasil kestabilan titik kesetimbangan endemik juga menunjukkan bahwa stabil asimtotik lokal, pada titik kesetimbangan endemik digunakan metode Ukuran Lozinskii untuk menunjukkan bahwa titik kesetimbangan endemik ini stabil asimtotik global.

Kemudian dibahas juga analisis kontrol optimal model penyakit campak dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin dengan memberikan tiga kontrol yaitu vaksinasi, pengobatan untuk individu terpapar dan pengobatan untuk individu terinfeksi. Lalu, simulasi numerik yang diperoleh menunjukkan adanya perbedaan penyebaran penyakit campak ketika tanpa adanya kontrol dan dengan diberikan kontrol. Dari hasil yang didapatkan penyebaran penyakit campak yang diberikan tiga kontrol dapat mengurangi laju penyebaran penyakit campak tersebut dengan mengurangi populasi individu terpapar dan terinfeksi.

Kurva untuk populasi individu terpapar menunjukkan peningkatan drastis pada awal tahun pertama kemudian terus mengalami penurunan yang stabil sampai tahun kelima karena individu terpapar dapat berpindah menjadi individu terinfeksi. Dengan diberikannya kontrol pengobatan untuk populasi ini, maka dapat menurunkan kurva atau mengurangi individu terpapar. Sedangkan pada populasi individu terinfeksi kurvanya menunjukkan peningkatan yang stabil dalam lima tahun. Dengan diberikan kontrol pengobatan pada populasi ini laju kurva tersebut menunjukkan penurunan yang artinya populasi ini berkurang. Karena setelah diberikan kontrol terhadap model persamaan penyebaran campak hasil simulasi pada populasi individu perpapar dan populasi individu terinfeksi menunjukkan penurunan, maka jelas bahwa untuk hasil simulasi populasi kebal akan mengalami kenaikan yang artinya jumlah pada populasi ini akan lebih besar dari sebelum diberikan kontrol.

ENGLISH:

This study discusses the solution of global stability analysis of the measles model using the Lyapunov Function and Lozinskii Measure. In the model, there are two equilibrium points, namely the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point. The result indicates that the stability of the disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable. Besides, the result of the Lyapunov Function method claims that the disease-free equilibrium point is globally asymptotically stable. As for the results of the stability of the endemic equilibrium point also show that locally asymptotically stable, at the endemic equilibrium point the Lozinskii measure is used to show that the endemic equilibrium point is globally asymptotically stable.

The analysis of optimal control of the measles disease model also discussed by using the Pontryagin’s Minimum Principle by providing three controls namely vaccination, treatment for exposed individuals, and treatment for infected individuals. The obtained numerical simulation shows the difference in the spread of measles when there is no control and with the control. From the results obtained by the spread of measles with three controls can reduce the rate of spread of measles reducing the population of exposed and infected individuals.

The curve for the population of exposed individuals show a drastic increase at the beginning of the first year and then continues to experience a steady decline until the fifth year because exposed individuals can move into infected individuals. By providing treatment control for this population, it can reduce the curve or reduce the exposed individuals. Whereas the population of individuals infected with their curves showed a steady increase in five years. Given treatment control of this population, the rate of the curve shows a decrease which means this population is decreasing. Since after controlling for the measles distribution model the spread of the simulation results in the populations of exposed individuals and infected individuals show a decrease. Accordingly the results of the simulation recovered individuals will increase which means the amount in this population will be greater than before being given control.

ARABIC:

ناقش هذه الدراسة استكمال تحليل الاستقرار العالمي لنموذج مرض الحصبة باستخدام طريقة دالة ليابونوف وقياس لوزينسكي يوجد في النموذج المستخدم نقطتان للتوازن ، وهما نقطة التوازن الخالية من الأمراض ونقطة التوازن املتوطنة تشير نتائج هذه الدراسة. إلى أن استقرار نقطة التوازن الخالية من الأمراض استفرار تحقاربي الححلي وباستخدام طريقة ،وظيفة ليابونوف ، وجد أن نقطة التوازن الخالية من الأمراض مستقرة بشكل مقارب عالميًا. أما بالنسبة لنتائج استقرار نقطة التوازن المتوطفة ،يدل أيضًا على المستقيم المقارب المحلي ، عند نقطة التوازن المتوطنة يتم استخدام طريقة حجم لوزينسكي. لإظهار أن نقطة .التوازن المستوطنة مستقرة بشكل مقارب، على، مستوى العالم.

ثم ناقش أيضًا تحليل التحكم الأمثل لنموذج مرض الحصبة باستخدام مبدأ الحد الأدنى من (Pontryagin) من خلال توفير ثلاث ضوابط هي التطعيم ، وعلاج الأفراد المعرضين ، وعلاج الأفراد المصابين. ثم ، تظهر المحاكاة العددية التي تم الحصول عليها الاختلافات في انتشار الحصبة عندما لا يكون هناك تحكم ويتم إعطاء السيطرة. من النتائج التي تم الحصول عليها انتشار الحصبة نظرا لثلاث ضوابط يمكن أن تقلل من معدل انتشار الحصبة عن طريق تقليل عدد السكان المعرضين والمصابين.

يظهر منحنى عدد السكان المعرضيندة كبيرة في بداية السنة الأولى ، ثم يستمر في الانخفاض حتى السنة الخامسة لأن الأفراد المعرضين يمكنهم أن بصحوا الأفراد المصابين. من خلال توفير ضوابط العلاج لهذه الفئة ، يمكن أن تنخفض المنحنى أو تقلل عدد الاثراد المفرهين في حين .لاظهر سكان الأفراد المصابين بمنحنياتهم زيادة مطردة في خمس سنوات. بالنظر إلى التحكم في العلاج في هذه المجموعة ، يظهر معدل المنحنى انخفاضًا مما يعني أن هذا العدد يتناقص. لأنه بعد التحكم في نموذج توزيع الحصبة ، ينتشر انتشار المحاكاة في عدد الأفراد المعرضين ويظهر عدد الأفراد المصابين انخفاضًا ، من الواضح أن نتائج محاكاة المجموعات المناعية ستزداد مما .يعني أن الكمية في هذه المجموعة ستكون أكبر مما كانت عليه قبل إعطائها السيطرة.