Penyelesaian numerik persamaan vibrasi menggunakan metode shooting

مستخلص البحث

الاهتزاز هو حركه ذهابا وإيابا في نظام الميكانيكية الناجمة عن نمط المرمم من الكائن الذي يستعيد دائما إلى موضعه الأصلي. الاضافة إلى ذلك ، يتاثر التحرك في النظام الميكانيكي أيضا بعامل التوهين والعامل الخارجي المسمي الاهتزاز القسري مع التخميد. والغرض من هذا البحث هو معرفة الحل العددي لمعادلات الاهتزاز القسري مع التوهين باستخدام طرق Shooting وتحليل السلالات.

معادلات الاهتزاز القسري مع التوهين علي شكل m (d^2 x)/(dt^2 )+b dx/dt+kx=F_0 cos⁡ωt. العوامل الخارجية التي تؤثر علي هذه المعادلة هي F_0 cos ωt وعامل التوهين –bv .يتم الانتهاء من استخدام طريقه Shooting عن طريق تقليل مشكله قيمه الحدود إلى مشكله قيمه أوليه. يتم استخدام الأمر الاربعه التالية Runge-Kutta الطريقة لحل المشكلة القيمة الاوليه. ثم الاقتراب من طريقة Shooting باستخدام تركيبه خطيه.

النتائج التي تم الحصول عليها من الحل العددي باستخدام أسلوب Shooting مع t=[0,1] المجال قريبة جدا من حل التحليلات. ويظهر مع أكبر خطا من 〖3.2×10〗^(-7). ويتم الحصول علي أصغر خطا 8.1×〖10〗^(-8)..

ABSTRACT

Vibration is a movement back and forth on a mechanical system caused by the recovery force of the object that always returns to its original position. In addition, the movement of a mechanical system is also influenced by a damping factor and an external factor called forced vibration with damping. The purpose of this study is to determine the numerical solutions of forced vibration equations with damping using the Shooting method and analyzing the error.

Forced vibration with damping equation has the form of the equation in the form m (d^2 x)/(dt^2 )+b dx/dt+kx=F_0 cos⁡ωt. The external factors which affect this equation for F_0 cos⁡ωt and the damping factor consists of –bv. The Shooting method is done by reducing the boundary value problem into an initial value problem. Furthermore, the fourth order Runge-Kutta method is used to solve the initial value problem. Then approach the Shooting method using a linear combination.

The results obtained from the numeric solution using the Shooting method with the domain t = [0.1] are very close to the analytics solution. This is indicated by the largest error that 〖3.2×10〗^(-7). And the smallest error is obtained 8.1×〖10〗^(-8).

ABSTRAK

Vibrasi merupakan gerakan bolak-balik pada suatu sistem mekanik diakibatkan oleh gaya pemulih dari objek tersebut yang selalu mengembalikan ke posisi semula. Selain itu, gerakan pada sistem mekanik juga dipengaruhi oleh faktor redaman dan faktor luar yang dinamakan vibrasi paksa dengan redaman. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui solusi numerik persamaan vibrasi paksa dengan redaman menggunakan metode Shooting dan menganalisis galatnya.

Persamaan vibrasi paksa dengan redaman memiliki bentuk persamaan berupa m (d^2 x)/(dt^2 )+b dx/dt+kx=F_0 cos⁡ωt. Faktor luar yang mempengaruhi persamaan ini sebesar F_0 cos⁡ωt dan faktor redaman berupa –bv. Penyelesaian menggunakan metode Shooting dilakukan dengan mereduksi masalah nilai batas menjadi masalah nilai awal. Selanjutnya digunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal. Kemudian melakukan pendekatan metode Shooting menggunakan kombinasi linier.

Hasil yang diperoleh dari solusi numerik menggunakan metode Shooting dengan domain t=[0,1] sangat mendekati solusi analitiknya. Hal tersebut ditunjukkan dengan galat terbesar yaitu 〖3.2×10〗^(-7). Dan galat yang terkecil diperoleh 8.1×〖10〗^(-8).