Penyelesaian numerik persamaan difusi konveksi 1D menggunakan metode galerkin - beda hingga

INDONESIA:

Persamaan difusi konveksi 1D adalah salah satu contoh dari persamaan diferensial parsial tipe parabolik. Persamaan ini bergantung terhadap ruang x dan waktu t sehingga termasuk dalam masalah unsteady karena mengalami perubahan terhadap waktu. Penyelesaian numerik persamaan diferensial parsial bisa diperoleh dengan menggunakan metode Galerkin. Oleh karena itu, dalam penelitian ini digunakan metode Galerkin untuk menyelesaikan persamaan difusi konveksi 1D serta dilakukan analisis galat terhadap solusi numerik tersebut.

Penyelesaian persamaan difusi konveksi 1D dengan metode Galerkin dilakukan dengan mendiskritkan domain ruang dan waktu menjadi beberapa elemen, kemudian menentukan interpolasi setiap elemen dengan fungsi linier atau disebut fungsi aproksimasi, dan dalam fungsi aproksimasi terdapat fungsi interpolasi. Selanjutnya, mensubstitusikan fungsi aproksimasi ke persamaan difusi konveksi 1D sehingga disebut residu. Residu yang diperoleh diminimumkan dengan metode residu berbobot dan pemilihan fungsi pembobot dilakukan dengan metode Galerkin. Kemudian fungsi turunan terhadap waktu dari hasil metode residu berbobot didiskritkan dengan metode beda hingga sehingga diperoleh persamaan untuk setiap elemen. Selanjutnya, persamaan dari setiap elemen digabungkan sehingga berbentuk sistem persamaan dan diselesaikan dengan bantuan matriks. Kemudian analisis galat dilakukan dengan mencari selisih antara solusi analitik dan solusi numerik secara manual dan dengan bantuan program Python.

ENGLISH:

The 1D convection diffusion equation is an example of a parabolic type partial differential equation. This equation depends on space x and time t so that it is included in the unsteady problem because it changes with time. The numerical solution of partial differential equations can be obtained using the Galerkin method. Accordingly, in this study, the Galerkin method was used to solve the 1D convection diffusion equation and do an error analysis of the numerical solution.

The solution of the 1D convection diffusion equation using the Galerkin method is done by discretizing the space and time domains into several elements, then interpolating each element determined by a linear function called an approximation function and in the approximation function there is an interpolation function. Next, substituting the approximation function to the 1D convection diffusion equation so that it is referred to as residual. The residual obtained is minimized by the weighted residual method and the weighting function selection is done by the Galerkin method. Then the derivative function respect to time from the results of the weighted residual method is discretized by using the finite difference method so that the equation for each element is obtained. Furthermore, determining the equations of each element are combined so that they form a system of equations and are solved with the help of a matrix. Then the error analysis is done bydetermining the differences between analytical solutions and numerical solutions manually and with the help of the Python program.