Dualitas sifat-sifat pada Latis

INDONESIA:

Latis L adalah suatu aljabar dengan dua operasi (dilambangkan dengan * dan #), yang memenuhi beberapa aksioma, yaitu kedua operasi bersifat idempoten, kedua operasi bersifat asosiatif dan komutatif, serta berlaku absorpsi terhadap kedua operasi tersebut. Latis juga dipandang sebagai poset (partially ordered set) dengan sifat-sifat tertentu. Pada skripsi ini dibahas tentang dualitas sifat-sifat pada latis, yaitu dengan memberikan definisi dan contoh yang berkaitan dengan dualitas sifat-sifat pada latis.

Tujuan penelitian ini adalah menjelaskan dualitas sifat-sifat pada latis. Adapun dualitas sifat-sifat pada latis yaitu yaitu:
a. Jika dalam suatu latis a≤b dan c≤d, maka a*c≤b*d, untuk setiap a,b,c∈L.
b. Jika dalam suatu latis a≥b dan c≥d, maka a*c≥b*d, untuk setiap a,b,c∈L.
c. Untuk setiap a,b,c∈L, a*(b # c)≥(a*b) # (a*c).
d. Untuk setiap a,b,c∈L,a # (b*c)≤(a # b)*(a # c).
e. Untuk setiap a,b,c∈L,
(a # b)*(b # c)*(a # c)≥(a*b) # (b*c) # (a*c)
f. Untuk setiap a,b,c∈L,
(a*b) # (b*c) # (a*c)≤(a # b)*(b # c)*(c #a)
g. a*(b # c)≥b # (a*c) dengan a≥b dan c sebarang.
h. a # (b*c)≤b*(a # c) dengan a≤b dan c sebarang.
Selain itu terdapat beberapa definisi khusus mengenai contoh latis yang selanjutnya digunakan untuk membuktikan dualitas sifa-sifat pada latis berlaku pada contoh tersebut. Bagi penelitian selanjutnya dapat dikembangkan kajian dualitas pada latis dengan memberikan lebih banyak contoh, sehingga membentuk suatu teorema atau sifat-sifat baru yang berkaitan dengan dualitas sifat-sifat pada latis.

ENGLISH:

Latis L is an algebra with the two relation (denoted with * and #), which meet several axioms, i.e. both relations are idempoten, both relationships are associative and commutative, as well as apply absorption against both relationships. Lattice is also seen as a poset (partially ordered set)with certain properties. This thesis discussed about properties duality of lattice, namely by providing definitions and examples related to properties duality of lattice and proving properties that are related to properties duality of the lattice.

The purpose of this study is to describe properties that are related to properties duality of lattice. As for properties duality of lattice, namely:
a. If in a given latis a≤b and c≤d, then a*c≤b*d, for any a,b,c∈L.
b. If in a given latis a≥b and c≥d, then a*c≥b*d, for any a,b,c∈L.
c. For any a,b,c∈L,a*(b # c)≥(a*b) # (a*c).
d. For any a,b,c∈L,a # (b*c)≤(a # b)*(a # c).
e. For any a,b,c∈ L,(a # b)*(b # c)*(a # c)≥(a*b) # (b*c) # (a*c).
f. For any a,b,c∈L,(a*b) # (b*c) # (a*c)≤(a # b)*(b # c)*(c # a).
g. a*(b # c)≥b # (a*c) where a≥b and any c in L.
h. a # (b*c)≤b*(a # c) where a≤b and any c in L.
In addition there are several specific definitions regarding sample of lattice who then used to prove properties duality of lattice effect on the sample. Further research can be developed for the study of duality in the lattice by giving more examples, thus forming a theorem or new properties related to duality in the latis.