Sifat-sifat ruang metrik quasi parsial

INDONESIA:

Ruang metrik adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan metrik tertentu. Ruang metrik digeneralisasikan lebih lanjut menjadi ruang metrik quasi, ruang metrik parsial dan ruang metrik quasi parsial. Ruang metrik quasi parsial adalah pasangan (X,q) dengan X adalah himpunan tak kosong dan q adalah metrik quasi parsial pada X. Tujuan penelitian ini adalah menjelaskan hubungan antara konsep ruang metrik dengan ruang metrik quasi parsial dan menjelaskan sifat-sifat yang berlaku pada ruang metrik quasi parsial.

Berdasarkan pembahasan diperoleh bahwa ruang metrik quasi parsial adalah gabungan dari ruang metrik quasi dan ruang metrik parsial, yang memiliki sifat-sifat ruang metrik quasi parsial sebagai berikut :
a. Metrik quasi parsial pq pada X dengan d_qp (x,y)=1/2 [qp(x,y)+qp(y,x)] x,y∈X adalah metrik parsial pada X.
b. Diberikan (X,p) adalah ruang metrik parsial. Himpunan d_p (x,y)=p(x,y)-p(x,x) untuk x,y∈X. Maka (X,d_p) adalah ruang metrik quasi parsial.
c. Diberikan (X,qp) adalah ruang metrik quasi parsial, (X,p) adalah ruang metrik parsial (yang sesuai), dan (X,d) adalah ruang metrik (yang sesuai). Beberapa pernyataan berikut ekivalen
Barisan {x_n} adalah Cauchy di (X,qp) dan (X,qp) adalah lengkap.
Barisan {x_n} adalah Cauchy di (X,p) dan (X,p) adalah lengkap.
Barisan {x_n} adalah Cauchy di (X,d) dan (X,d) adalah lengkap.
Lebih lanjut,
lim┬(n→∞)⁡〖d(x,x_n )=0⇔p(x,x)=lim┬(n→∞)⁡p(x,x_n) 〗=lim┬(n,m→∞)⁡p(x_n,x_m)
⇔qp(x,x)=lim┬(n→∞)⁡qp(x,x_n)=lim┬(n,m→∞)⁡qp(x_n,x_m)
=lim┬(n→∞)⁡qp(x_n,x)=lim┬(n,m→∞)⁡qp(x_m,x_n )

ENGLISH:

A metric space is a non-empty set that comes with certain metrics. The metric space are generalizable further into quasi-metric space, partial metric space, and quasi-partial metric space. The quasi-partial metric space is the pair (X,q) with X is non-empty set and q is the quasi-partial metric on X. The purphose of this study is to explain the relationship between the concept of metric space with the quasi-partial metric space and to explain properties applicable to the quasi-partial metric space.

Based on the discussion it is found that the quasi-partial metric space is a composite of quasi-metric space and partial metric space, which has the following properties:
a. Quasi-partial metric pq on X where
d_qp (x,y)=1/2 [qp(x,y)+qp(y,x)] x,y∈X
is a partial metric on X.
b. Let (X,p) is a partial metric space. The set d_p (x,y)=p(x,y)-p(x,x) for x,y∈X. Then (X,d_p) is a quasi-partial metric space.
c. Let (X,qp) be a quasi-partial metric space, let (X,p) be the corresponding partial-metric space, and let (X,d) be the corresponding metric space. Then the following statement are equivalent:
The sequence {x_n} is Cauchy in (X,qp) and (X,qp) is complete.
The sequence {x_n} is Cauchy in (X,p) dan (X,p) is complete.
The sequence {x_n} is Cauchy in (X,d) dan (X,d) is complete. Also,
lim┬(n→∞)⁡〖d(x,x_n )=0⇔p(x,x)=lim┬(n→∞)⁡p(x,x_n ) 〗=lim┬(n,m→∞)⁡p(x_n,x_m )
⇔qp(x,x)=lim┬(n→∞)⁡qp(x,x_n )=lim┬(n,m→∞)⁡qp(x_n,x_m )
=lim┬(n→∞)⁡qp(x_n,x)=lim┬(n,m→∞)⁡qp(x_m,x_n )