Dekomposisi siklis modul yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama

INDONESIA:

Modul merupakan grup abelian terhadap suatu operasi biner, bersama dengan aksi perkalian skalar dari suatu gelanggang sehingga memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur modul bergantung pada jenis gelanggang tumpuannya. Salah satu cara untuk mengetahui sifat dari suatu modul adalah dengan melakukan dekomposisi modul, yaitu menguraikan suatu modul menjadi jumlah langsung submodul-submodul yang lebih sederhana.

Daerah ideal utama adalah daerah integral yang setiap idealnya dibangun oleh satu unsur. Roman (2008:146-150) menyatakan bahwa modul yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama merupakan jumlah langsung dari submodul-submodul siklis. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui dekomposisi modul yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama menjadi jumlah langsung submodul-submodul siklis. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa modul yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama dapat didekomposisikan menjadi jumlah langsung submodul-submodul siklis melalui beberapa tahap sebagai berikut: 1. Mendekomposisikan modul yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama menjadi jumlah langsung submodul bebas dan submodul torsi yang dibangun secara hingga. 2. Mendekomposisikan modul bebas yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama menjadi jumlah langsung submodul-submodul siklis. 3. Mendekomposisikan modul torsi yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama menjadi jumlah langsung submodul-submodul primer yang dibangun secara hingga. 4. Mendekomposisikan modul primer yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama menjadi jumlah langsung submodul-submodul siklis.

Untuk penelitian selanjutnya, disarankan untuk melakukan penelitian tentang dekomposisi modul dengan gelanggang tumpuan lainnya.

ENGLISH:

A module is an abelian group with respect to a binary operation, together with an action of a ring that satisfies certain properties. The structure of module depends on the type of its base ring. One of the way to find out the characteristics of module is by decomposing the module, that is, decomposing a module into direct sum of its simpler submodules.

A principal ideal domain is an integral domain which every ideal is a principal ideal. Roman (2008:146-150) stated that a finitely generated module over a principal ideal domain is direct sum of cyclic submodules. The purpose of this research is to know the decomposition of finitely generated module over a principal ideal domain into direct sum of cyclic submodules. The results of this study indicate that a finitely generated module over a principal ideal domain can be decomposed into direct sum of cyclic submodules by the following steps: 1. Decomposing a finitely generated module over a principal ideal domain into direct sum of finitely generated free and torsion submodules. 2. Decomposing a finitely generated module over a principal ideal domain into direct sum of cyclic submodules. 3. Decomposing a finitely generated torsion module over a principal ideal domain into direct sum of finitely generated primary submodules. 4. Decomposing a finitely generated primary module into direct sum of cyclic submodules.

For further research, it is suggested to do a research about decomposition of a module over another base ring.