Spektrum graf subgrup dan komplemennya dari grup dihedral

INDONESIA:

Misalkan G subgrup dan H subgrup normal dari G. Graf subgrup Γ_H (G) adalah graf dengan himpunan titik semua unsur di G dan dua titik berbeda x dan y terhubung langsung jika dan hanya jika xy∈H. Pada penelitian ini ditentukan spektrum adjacency titik, Laplace, signless Laplace dan detour graf subgrup 〈r^2,s〉 dan komplemennya di grup dihedral D_2n. Hasil penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Pada graf subgrup hanya didapatkan spektrum adjacency titik, Laplace dan signless Laplace. Spektrum detour tidak dapat ditentukan karena graf yang diperoleh adalah graf tidak terhubung.
a. Spektrum adjacency titik A(Γ_H (D_2n )) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_A(Γ_H (D_2n )) =[...]
b. Spektrum Laplace L(Γ_H (D_2n )) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_L(Γ_H (D_2n )) =[...]
c. Spektrum signless Laplace L^+ (Γ_H (D_2n )) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_(L^+ (Γ_H (D_2n )) )=[...]

2. Pada komplemen graf subgrup didapatkan spektrum adjacency titik, Laplace, signless Laplace dan detour karena graf yang diperoleh adalah graf terhubung.
a. Spektrum adjacency titik A((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_A((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) =[...]
b. Spektrum Laplace L((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_L((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) =[...]
c. Spektrum signless Laplace L^+ ((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_(L^+ ((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) )=[...]
d. Spektrum detour DD((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) dengan H=〈r^2,s〉 untuk n genap dan n≥4 adalah
〖spec〗_DD((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) =[...]

Untuk penelitian selanjutnya diharapkan dapat menemukan teorema terkait spektrum yang diperoleh dari graf yang lainnya atau pada graf subgrup dari grup lainnya.

ENGLISH:

Let G be a subgroup and H is a normal subgroup of G. Subgroup graph Γ_H (G) is a graph with a set of points of all elements in G and two distinct vertices x and y are directly connected if and only if xy∈H. This study determined the spectrum of adjacency, Laplace, signless Laplace and detour of subgroup graph 〈r^2,s〉 and their complement of dihedral group D_2n. The results of this study are as follows:

1. In the subgroup graph, the obtained spectrum is only the adjacency spectrum, the Laplacian spectrum, and the signless Laplacian spectrum. The detour spectrum can not be determined because the graph obtained is an unconnected graph.
a. The adjacency spectrum A(Γ_H (D_2n )) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_A(Γ_H (D_2n )) =[...]
b. The Laplacian spectrum L(Γ_H (D_2n )) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_L(Γ_H (D_2n )) =[...]
c. The signless Laplacian spectrum L^+ (Γ_H (D_2n )) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_(L^+ (Γ_H (D_2n )) )=[...]

2. In the complement subgroup graph, the obtained spectrum is the adjacency spectrum, the Laplacian spectrum, the signless Laplacian spectrum, and the detour spectrum because the graph obtained is a connected graph.
a. The adjacency spektrum A((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_A((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) =[...]
b. The Laplacian spectrum L((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_L((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) =[...]
c. The signless Laplacian spectrum L^+ ((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_(L^+ ((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) )=[...]
d. The detour spectrum DD((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) with H=〈r^2,s〉 for even n≥4 is
〖spec〗_DD((Γ_H (D_2n ) ) ̅ ) =[...]

For the further research the author suggests to determine the theorem related to the spectrum obtained from the other graphs or the spectrum subgroup graph and their complement of the other groups.