Sifat-sifat submodul maksimal dalam modul perkalian

INDONESIA:

Dalam teori modul terdapat modul khusus yang disebut modul perkalian (multiplication module). Misalkan R adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan dan M adalah R-modul, maka M disebut modul perkalian jika untuk setiap submodul N di M terdapat ideal presentasi I di gelanggang R sehingga berlaku N=I∙M. Selain itu juga dikenal submodul maksimal yang ada dalam suatu R-modul M, yang termotivasi dari definisi ideal maksimal dalam suatu gelanggang R, yaitu dengan memandang gelanggang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul). Tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari sifat-sifat submodul maksimal dalam modul perkalian.

Akhirnya dapat disimpulkan bahwa beberapa sifat yang terdapat dalam ideal maksimal dalam suatu gelanggang dapat dibawa menjadi sifat-sifat submodul maksimal dalam modul perkalian, yaitu:

1. Misalkan R adalah gelanggang komutatif dengan satuan, M adalah R-modul perkalian dan N adalah submodul dari M. Maka submodul maksimal memuat semua submodul sejati dari M.
2. Misalkan M adalah R-modul perkalian dengan R adalah lapangan dan N adalah submodul dari M, maka N adalah submodul maksimal jika dan hanya jika M/N adalah submodul sederhana.
3. Misalkan R adalah gelanggang Artinian dan M adalah R-modul perkalian maka setiap submodul maksimal adalah submodul prima.

ENGLISH:

In the module theory there is a special module called multiplication module. Let R is a commutative ring with unity and M is R-module, then M is called multiplication module if for every N submodule in M there is presentation ideal I in R so that N = I ∙ M. It is also known to be the maximal submodule present in an R-module M, which is motivated from the maximal ideal definition in an ring R, by looking at the ring R as a module over itself (R is R-module). The purpose of this article is to describe maximal submodule properties in the multiplication module.

Finally it can be concluded that some of the properties contained in the maximal ideal in an ring can be brought into the maximal submodule properties in the multiplication module:

1. Let R be the commutative ring with unity, M is R-multiplication module and N is a submodule of M. Then maximal submodule contains every proper submodule of M.
2. Let M be the R-multiplication module with R is the field and N is the submodule of M, then N is maximal submodule if only if M/N is a simple module.
3. Let R be the Artinian ring and M is the R-multiplication module then every maximal submodule is prime submodule.