Homomorfisme pada latis

INDONESIA:

Latis L adalah suatu aljabar yang dikenai dua operasi biner (dilambangkan dengan (X) dan (+)), yang memenuhi beberapa aksioma, yaitu kedua operasi bersifat idempoten, kedua operasi bersifat asosiatif dan komutatif, serta berlaku absorpsi terhadap kedua operasi. Pada skripsi ini dibahas tentang homomorfisme pada latis, yaitu dengan memberikan definisi beserta contoh yang berkaitan dengan homomorfisme pada latis dan membuktikan sifat-sifat yang berkaitan dengan homomorfisme pada latis. Tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan sifat-sifat yang terkait dengan homomorfisme pada latis. Adapun sifat-sifat dari homomorfisme pada latis yaitu:

a. Bayangan homomorfik H dari L terhadap φ adalah sublatis dari M.
b. Misalkan L_1 "dan" L_2 adalah suatu latis dengan a,b∈L_1, dan suatu fungsi φ:L_1→L_2 adalah homomorfisme pada latis. Jika φ join-homomorphism dan meet-homomorphism, dengan a≤b∈L_1 maka berlaku φ(a)≤φ(b)∈L_2.
c. Misalkan L_1 "dan" L_2 adalah suatu latis dan fungsi φ:L_1→L_2 adalah suatu isomorfisme, maka untuk setiap a,b∈L_1 berlaku φ(a)+φ(b)≤φ(a+b) dan φ(a)×φ(b)≤φ(a×b).
d. Misalkan L_1 "dan" L_2 adalah suatu latis dan fungsi φ:L_1→L_2 adalah suatu isomorfisme, maka untuk setiap a,b∈L_1 berlaku φ(a+b)≤φ(a)+φ(b) dan φ(a×b)≤φ(a)×φ(b).

Selain itu terdapat beberapa definisi khusus tentang homomorfisme pada latis yaitu embedding, endomorfisme, dan isomorfisme. Bagi penelitian selanjutnya dapat dikembangkan kajian homomorfisme pada latis dengan memberikan lebih banyak contoh-contoh, sehingga membentuk suatu teorema atau sifat-sifat baru yang berkaitan dengan homomorfisme pada latis.

ENGLISH:

Lattice L is an algebra that is subjected to two binary operations (denoted by (×) and (+)), which meet some axioms, namely both are idempotent operations, both are associative and commutative operations, and obtained the absorption of both operations. This thesis discussed about homomorphism on lattice. That is by providing definitions and examples which related to homomorphism on lattice and prove the characteristics which related to homomorphism on lattice. The purpose of this study is to describe the properties associated with homomorphism on lattice. As for the properties of the homomorphism on lattice, namely:

a. The homomorphic image H of L under φ is a sublattice ofb.
b. Suppose L_1 and L_2 is a lattice with a,b∈L_1, and a function φ:L_1→L_2 is homomorphism on lattice. If φ join-homomorphism and meet-homomorphism, with a≤b∈L_1 then applies φ(a)≤φ(b)∈L_2.
c. Suppose L_1 and L_2 are lattice with a,b∈L_1, and a function φ:L_1→L_2 is isomorphism, then for any a,b∈L_1 applies φ (a) + φ(b) ≤φ (a + b) and φ (a) × φ (b) ≤ φ (a × b).
d. Suppose L_1 and L_2 are lattice with a,b∈L_1, and a function φ:L_1→L_2 is isomorphism, then for any a,b∈L_1 applies φ (a + b)≤φ (a) + φ(b) and φ (a × b)≤φ (a) × φ (b).

In addition there are some specific definitions of homomorphism on lattice namely embedding, endomorphism and isomorphism. For further research, it can be developed study of homomorphism in lattice by giving more examples, and then it can form a new theorem or new characteristics related to homomorphism on lattice.