Analisis Dinamik model Matematika Interaksi Sel T CD4+, Sel T CD8+, Interleukin-2 dan sel tumor

INDONESIA

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis dinamika model matematika interaksi antara interleukin-2 (IL-2), sel T CD4⁺, sel T CD8⁺, dan sel tumor yang dikembangkan oleh Dixon dkk. (2024), serta mengidentifikasi parameter yang paling berpengaruh terhadap populasi sel tumor melalui analisis sensitivitas. Analisis dilakukan melalui beberapa tahap, yaitu penentuan titik kesetimbangan, analisis parameter ambang sistem, analisis kestabilan menggunakan matriks Jacobian dan nilai eigen, simulasi numerik, serta analisis sensitivitas lokal menggunakan normalized sensitivity index. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model memiliki empat titik kesetimbangan, dengan tiga titik kesetimbangan layak secara biologis dan satu titik kesetimbangan tidak layak secara biologis untuk nilai parameter yang digunakan. Analisis kestabilan menunjukkan bahwa hanya satu titik kesetimbangan yang bersifat stabil asimtotik lokal, sedangkan titik kesetimbangan lainnya bersifat tidak stabil. Simulasi numerik mendukung hasil analisis teoritis, di mana solusi sistem menuju titik kesetimbangan stabil E_3 setelah mengalami respons transien berupa osilasi teredam. Hasil analisis sensitivitas pada titik kesetimbangan E_3 dan E_4 menunjukkan bahwa parameter yang berkaitan langsung dengan dinamika sel imun memiliki pengaruh paling dominan terhadap populasi sel tumor, yaitu parameter laju stimulasi dan laju kematian sel T CD8⁺ pada titik kesetimbangan E_3, serta parameter laju stimulasi dan laju kematian sel T CD4⁺ pada titik kesetimbangan E_4, sedangkan parameter yang berkaitan dengan regulasi IL-2 secara tidak langsung memberikan pengaruh yang relatif kecil. Secara biologis, hasil ini menunjukkan bahwa peningkatan aktivitas sel imun, baik oleh sel T CD4⁺ maupun sel T CD8⁺, serta penurunan laju kematian kedua jenis sel imun tersebut, berperan penting dalam menekan pertumbuhan sel tumor sehingga dapat mendukung efektivitas pengendalian sel tumor melalui pendekatan imunoterapi.

ENGLISH

This study aims to analyze the dynamics of a mathematical model describing the interaction between interleukin-2 (IL-2), CD4⁺ T cells, CD8⁺ T cells, and tumor cells developed by Dixon et al. (2024), as well as to identify the parameters that most significantly influence the tumor cell population through sensitivity analysis. The analysis is carried out through several stages, namely the determination of equilibrium points, threshold parameter analysis of the system, stability analysis using the Jacobian matrix and eigenvalues, numerical simulations, and local sensitivity analysis using the normalized sensitivity index. The results show that the model has four equilibrium points, with three biologically feasible equilibrium points and one biologically infeasible equilibrium point for the chosen parameter values. Stability analysis indicates that only one equilibrium point is locally asymptotically stable, while the other equilibrium points are unstable. Numerical simulations support the theoretical analysis, where the system trajectories approach the stable equilibrium point E_3 after exhibiting transient damped oscillations. The sensitivity analysis results at equilibrium points E_3 and E_4show that parameters directly related to immune cell dynamics have the most dominant influence on the tumor cell population, namely the stimulation rate and death rate of CD8⁺ T cells at E_3, as well as the stimulation rate and death rate of CD4⁺ T cells at E_4. Meanwhile, parameters associated with IL-2 regulation indirectly have a relatively small influence. Biologically, these results indicate that enhancing immune cell activity, both CD4⁺ T cells and CD8⁺ T cells, as well as reducing the death rates of these immune cells, plays an important role in suppressing tumor cell growth and may support the effectiveness of tumor control through an immunotherapy approach.

ARABIC

تهدف هذه الدراسة إلى تحليل ديناميكيات نموذج رياضي يصف التفاعل بين إنترلوكين-2 (IL-2)، وخلاياT المساعدة CD4⁺، وخلايا T القاتلة CD8⁺، والخلايا الورمية، والذي طوّره ديكسون وآخرون (2024)، بالإضافة إلى تحديد المعلمات الأكثر تأثيرًا في عدد الخلايا الورمية من خلال تحليل الحساسية .تم إجراء التحليل عبر عدة مراحل تشمل تحديد نقاط الاتزان، وتحليل العتبات الخاصة بمعلمات النظام، ودراسة الاستقرار باستخدام مصفوفة جاكوبي والقيم الذاتية، وإجراء المحاكاة العددية، وتحليل الحساسية المحلية باستخدام مؤشر الحساسية المعياري .أظهرت النتائج أن النموذج يحتوي على أربع نقاط اتزان، ثلاث منها قابلة للتفسير بيولوجيًا، في حين أن نقطة اتزان واحدة غير قابلة للتفسير البيولوجي وفق قيم المعلمات المستخدمة. كما بيّن تحليل الاستقرار أن نقطة اتزان واحدة فقط مستقرة استقرارًا مقاربًا محليًا، بينما تكون بقية نقاط الاتزان غير مستقرة .وتؤكد المحاكاة العددية النتائج النظرية، حيث يتجه حل النظام نحو نقطة الاتزان المستقرة E_3 بعد سلوك انتقالي يتمثل في تذبذبات متخامدة. كما أظهرت نتائج تحليل الحساسية عند نقطتي الاتزان E_3 و E_4 أن المعلمات المرتبطة مباشرة بديناميكيات الخلايا المناعية تمتلك التأثير الأكبر على عدد الخلايا الورمية، وهي معدل تحفيز ومعدل موت خلايا T CD8⁺ عند النقطة E_3، وكذلك معدل تحفيز ومعدل موت خلايا T CD4⁺ عند النقطة E_4. في المقابل، فإن المعلمات المرتبطة بتنظيم IL-2 تؤثر بشكل غير مباشر وبدرجة ضعيفة نسبيًا .ومن الناحية البيولوجية، تشير هذه النتائج إلى أن تعزيز نشاط الخلايا المناعية، سواء خلايا CD4⁺ أو CD8⁺، وتقليل معدلات موتها، يلعب دورًا مهمًا في تثبيط نمو الخلايا الورمية، مما قد يدعم فعالية التحكم في الخلايا الورمية من خلال نهج العلاج المناعي.