Analisis Dinamik model Matematika Vibrasi String

INDONESIA:

Vibrasi string merupakan fenomena getaran pada sistem dawai yang dipengaruhi oleh berbagai parameter seperti (\delta) koefisien redaman sistem, (m) massa sistem, (K) konstanta pegas dan (g) gaya gravitasi. Analisis terhadap perilaku dinamik sistem diperlukan untuk memahami kestabilan dan karakteristik getaran yang terjadi. Penelitian ini menggunakan asumsi perilaku alami sistem tanpa adanya pengaruh gaya luar. Model yang digunakan adalah model vibrasi string McKenna (1999) yang telah dilinierisasi. Penelitian ini bertujuan menganalisis perilaku dinamik model matematika vibrasi string di sekitar titik kesetimbangan, menentukan solusi analitik sistem, serta meninjau pengaruh adanya massa benda pada sistem menggunakan simulasi numerik. Hasil analisis dinamik dari reduksi persamaan diferensial orde dua menjadi sistem persamaan diferensial orde satu menunjukkan stabil asimtotik dengan \lambda_1,\lambda_2\ bernilai negatif dengan \lambda_1=\frac{-\delta}{2}\ -\frac{\sqrt{\delta^2-\frac{24\ K}{m}}}{2},\ \ \lambda_2=\frac{-\delta}{2}\ +\frac{\sqrt{\delta^2-\frac{24\ K}{m}}}{2} dengan \delta=0.01,\ K=1000,\ m=2500. Analisis bersifat stabil asimtotik untuk parameter yang diberikan. Limit solusi eksak y(t)\ untuk semua nilai sin(\omega t) dan cos(\omega t) konvergen ke (\frac{mg}{2K}) yang selaras dengan titik kesetimbangan y(t)=\left(\frac{mg}{2K},0\right) secara sama limit solusi eksak untuk \theta(t) yang memuat sin(\omega t) dan cos(\omega t) konvergen ke nol yang selaras dengan titik kesetimbangan \theta(t)=(0,0).

ENGLISH

String vibration is a vibration phenomenon in a string system that is influenced by various parameters such as \delta is the damping coefficient of the system, m is the mass of the system, K is the spring constant and g is the gravitational force. Analysis of the dynamic behavior of the system is necessary to understand the stability and characteristics of the vibrations that occur. This study uses the assumption of the natural behavior of the system without the influence of external forces. The model used is the linearized McKenna (1999) string vibration model. This study aims to analyze the dynamic behavior of the mathematical model of string vibration around the equilibrium point, determine the analytical solution of the system, and review the effect of the mass of the object on the system using numerical simulations. Dynamic analysis following the reduction of the second-order differential equation to a system of first-order differential equations demonstrates asymptotic stability, with negative eigenvalues \lambda_1,\lambda_2\ defined by \lambda_1=\frac{-\delta}{2}\ -\frac{\sqrt{\delta^2-\frac{24\ K}{m}}}{2},\ \ \lambda_2=\frac{-\delta}{2}\ +\frac{\sqrt{\delta^2-\frac{24\ K}{m}}}{2} using parameters \delta=0.01,\ K=1000,\ m=2500. The system is asymptotically stable for the given parameters. The limit of the exact solution y(t)\ across all values of sin(\omega t) and cos(\omega t), aligning with the equilibrium point(\frac{mg}{2K}) similarly, the limit of the exact solution for sin(\omega t) dan cos(\omega t) converges to zero, aligning with the equilibrium point \theta(t)=(0,0).

ARABIC:

يُعَدّ اهتزاز الوتر ظاهرةً اهتزازيةً في نظام الوتر تتأثر بعدة معاملات، مثل (\delta) معامل تخميد النظام، و(m) كتلة النظام، و(K) ثابت النابض، و (g) تسارع الجاذبية. يُعَدُّ تحليل السلوك الديناميكي للنظام ضروريًا لفهم استقراره وخصائص الاهتزازات الحاصلة فيه. وتعتمد هذه الدراسة على افتراض السلوك الطبيعي للنظام من دون تأثير أي قوة خارجية. أمّا النموذج المستخدم فهو نموذج اهتزاز الوتر McKenna (1999) بعد إجراء الخطية عليه. وتهدف هذه الدراسة إلى تحليل السلوك الديناميكي للنموذج الرياضي لاهتزاز الوتر حول نقطة الاتزان، وتحديد الحل التحليلي للنظام، فضلًا عن دراسة أثر وجود كتلة الجسم في النظام باستخدام المحاكاة العددية. أظهرت نتائج التحليل الديناميكي، الناتجة عن اختزال المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية إلى نظام من المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى، أن النظام مستقر استقرارًا تقاربيًا، إذ إنَّ \lambda_1,\lambda_2\ سالبتان، حيث\lambda_1=\frac{-\delta}{2}\ -\frac{\sqrt{\delta^2-\frac{24\ K}{m}}}{2},\ \ \lambda_2=\frac{-\delta}{2}\ +\frac{\sqrt{\delta^2-\frac{24\ K}{m}}}{2} مع القيم \delta=0.01,\ K=1000,\ m=2500\ .وبناءً على ذلك، فإن التحليل يُظهر استقرارًا تقاربيًا للمعلمات المعطاة. كما أن نهاية الحل الدقيق y(t)\ لجميع قيم sin(\omega t)\ و cos(\omega t) تتقارب إلى (\frac{mg}{2K}) وهو ما ينسجم مع نقطة الاتزان y(t)=(\frac{mg}{2K}) وبالمثل، فإن نهاية الحل الدقيق لـ الذي يتضمن sin(\omega t) و cos(\omega t) تتقارب إلى الصفر، وهو ما ينسجم مع نقطة الاتزان .(0,0)=\theta(t)