Nilai Eigen dari operator Nilpoten pada ruang Vektor

INDONESIA:

Operator nilpoten merupakan operator linier pada ruang vektor yang apabila dikomposisikan secara berulang sebanyak k kali, untuk suatu bilangan bulat positif k, akan menghasilkan operator nol. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai eigen dari operator nilpoten pada ruang vektor berdimensi hingga. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Tahapan penelitian dilakukan dengan mengkaji beberapa contoh operator nilpoten pada ruang vektor berdimensi hingga, menentukan matriks representasinya terhadap suatu basis terurut, dan membentuk polinomial karakteristik melalui perhitungan determinan matriks. Kemudian ditentukan akar-akar polinomial karakteristik tersebut sehingga diperoleh nilai eigen dari operator nilpoten. Selanjutnya, dilakukan pembuktian secara umum mengenai nilai eigen dari operator nilpoten pada ruang vektor berdimensi hingga. Hasil penelitian menunjukkan bahwa satu-satunya nilai eigen dari operator nilpoten pada ruang vektor berdimensi hingga adalah 0.

ENGLISH:

A nilpotent operator is a linear operator on a vector space that, when composed with itself repeatedly k times for some positive integer k, results in the zero operator. This study aims to determine the eigenvalues of nilpotent operators on finite-dimensional vector spaces. The research method used in this study is a literature review. The research procedure involves examining several examples of nilpotent operators on finite-dimensional vector spaces, determining their matrix representations with respect to an ordered basis, and constructing the characteristic polynomial by computing the determinant of the matrix. The roots of the characteristic polynomial are then determined to obtain the eigenvalues of the nilpotent operator. Furthermore, a general proof concerning the eigenvalues of nilpotent operators on finite-dimensional vector spaces is established. The results show that the only eigenvalue of a nilpotent operator on a finite-dimensional vector space is 0.

ARABIC:

المؤثر المنعدم القوي هو مؤثر خطي على فضاء متجهي، بحيث إن تكرار تركيبه مع نفسه k مرات، حيث إن k عدد صحيح موجب، يؤدي إلى الحصول على المؤثر الصفري. يهدف هذا البحث إلى تحديد القيم الذاتية للمؤثرات المنعدمة القوية على الفضاءات المتجهية منتهية البعد. وقد استخدم في هذا البحث منهج الدراسة المكتبية (الدراسة المرجعية). وتخللت مراحل البحث في دراسة عدة أمثلة للمؤثرات المنعدمة القوية على فضاءات متجهية منتهية البعد، وتحديد مصفوفات تمثيلها بالنسبة إلى أساس مرتب، وتكوين كثير الحدود المميز من خلال حساب محدد المصفوفة. ثم وُجدت جذور كثير الحدود المميز للحصول على القيم الذاتية للمؤثرات المنعدمة القوية. بعد ذلك أُجري برهان عام يتعلق بالقيم الذاتية للمؤثرات المنعدمة القوية على الفضاءات المتجهية منتهية البعد. وأظهرت نتائج البحث أن القيمة الذاتية الوحيدة للمؤثر المنعدم القوي على فضاء متجهي منتهي البعد هي الصفر.