Keterbagian dan sifat-sifat daerah faktorisasi tunggal Z_p

INDONESIA :

Dalam teori bilangan sifat-sifat keterbagian diperkenalkan sebagai dasar faktorisasi (pemfaktoran). Sifat-sifat keterbagian dan faktorisasi tersebut selanjutnya diperumum dalam kajian aljabar abstrak, khususnya pada daerah integral (Z_p,+,×) dimana Z_p adalah himpunan yang memuat koleksi semua kelas kongruensi modulo p (bilangan prima), yaitu Z_p={0 ̅,1 ̅,...,((p-1)) ̅. Penelitian ini difokuskan pada kajian sifat-sifat keterbagian dan sifat-sifat daerah faktorisasi tunggal (DFT) pada daerah integral Z_p. Analisis sifat-sifat DFT Z_p dimulai dengan menguraikan sifat-sifat keterbagian pada Z_p dan membuktikan bahwa Z_p merupakan DFT. Kemudian diuraikan dan dibuktikan sifat-sifat DFT Z_p.

Sifat-sifat keterbagian pada Z_p yaitu: (1) refleksif; (2) transitif; (3) simetris; (4) Jika a ̅ǀb ̅ maka a ̅ǀ(b ̅+c ̅) dan a ̅ǀ(b ̅- c ̅), untuk setiap a ̅,b ̅,c ̅,∈Z_p dan a ̅ ≠ 0 ̅;(5) jika a ̅ǀb ̅ maka a ̅ǀb ̅c ̅ untuk setiap a ̅,b ̅,c ̅,∈Z_p dan a ̅ ≠ 0 ̅;(6) jika a ̅c ̅ǀb ̅ maka a ̅ǀb ̅ , untuk setiap b ̅∈Z_p dan a ̅,c ̅,∈Z_p - {0 ̅}. Adapun sifat-sifat DFT Z_p, yaitu: (1) setiap unsur tak nol di Z_p adalah unit; (2) setiap unsur tak nol di DFT Z_p adalah sekawan bagi semua unsur tak nol di DFT Z_p ; (3) FPB dari dua unsur tak nol di DFT Z_p adalah sembarang unsur tak nol di DFT Z_p; (4) KPK dari dua unsur tak nol di DFT Z_p adalah sembarang unsur tak nol di DFT Z_p; (5) DFT Z_p tidak memuat unsur tereduksi; (6) DFT Z_p tidak memuat unsur tak tereduksi; (7) Z_p tidak memuat unsur prima.

ENGLISH :

In the number theory, divisibility properties is described as basic of factorization. The divisibility properties and factorization will be generalized in abstract algebra, especially on integral domain (Z_p , +,×) which Z_p is a set of collection of congruence class modulo p (prime number). It is denoted Z_p = {0 ̅,1 ̅,...,((p-1)) ̅. This research focused on the properties of divisibility and unique
factorization domain (UFD) on integral domain Z_p . Analyzing of the UFD Z_p properties begins by describing the divisibility properties of Z_p and proofing thatZ_p is UFD. Then, describing and proofing the properties of UFD Z_p.

The divisibility properties of Z_p are: (1) reflective; (2) transitive; (3) symmetry; (4) if a ̅ǀb ̅ then a ̅ǀ(b ̅+c ̅) and a ̅ǀ(b ̅- c ̅) for all a ̅,b ̅,c ̅,∈Z_p and a ̅ ≠ 0 ̅; (5) if a ̅ǀb ̅ then a ̅ǀb ̅c ̅ for all a ̅,b ̅,c ̅,∈Z_p and a ̅ ≠ 0 ̅; (6) if a ̅c ̅ǀb ̅ then a ̅ǀb ̅ for all b ̅∈Z_p dan a ̅,c ̅,∈Z_p - {0 ̅}. The properties of UFD Z_p are: (1) each nonzero elements of UFD Z_p is unit; (2) every nonzero element of UFD Z_p is associate by all nonzero elements of UFD Z_p ; (3) GCD of two nonzero elements of UFD Z_p is any nonzero elements of UFD Z_p ; (4) LCM of two nonzero elements of UFD Z_p is any nonzero elements of UFD Z_p; (5) UFD Z_p does not contain reducible element; (6) UFD Z_p does not contain irreducible element; (7) UFD Z_p does not contain prime.