Nilai eigen dan vektor eigen matriks Monge dalam aljabar max-plus

INDONESIA :

Aljabar Max-Plus adalah salah satu struktur dalam aljabar yaitu semi ring idempoten komutatif yang lebih lanjut merupakan semi field. Dinotasikan sebagai berikut〖(R〗_max,⊕,⊗) dan〖(R〗_max merupakan himpunan R∪{ε}, di mana R adalah himpunan bilangan real dan ε=-∞, operasi ⊕ didefinisikan sebagai maksimum dan operasi ⊗ didefinisikan sebagai penjumlahan normal bilangan real. Aljabar Max-Plus dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks. Penelitian ini membahas nilai eigen dan vektor eigen matriks Monge, serta sifat-sifat matriks Monge dalam Aljabar Max-Plus. Suatu matriks A dengan unsur bilangan real berukuran m×n disebut matriks Monge, jika dan hanya jika memenuhi: α_ij+α_rs≤α_is+α_rj. Pada penelitian ini penulis akan mengkaji sifat-sifat matriks Monge dalam Aljabar Max-Plus dan mendeskripsikan cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks Monge dalam Aljabar Max-Plus.

Dari hasil studi pustaka diperoleh sifat-sifat yang dipenuhi matriks Monge dalam Aljabar Max-Plus dan algoritma untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen matriks Monge dalam Aljabar Max-Plus. Sifat-sifat yang dipenuhi, yaitu sebagai berikut: idempoten, komutatif, asosiatif, distributif, elemen identitas dan elemen netral. Algoritma yang digunakan adalah sebagai berikut: (1) Mengecek Matriks A dengan syarat α_ij+α_rs≤α_is+α_rj dan merupakan matriks Monge (2) Menghitung nilai eigen dari matriks A (3) Menghitung vektor eigen.

Matriks Monge memiliki nilai eigen dan vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus yang dapat ditentukan menggunakan algoritma. Hasil C=A⊕B merupakan matriks Monge, C=α⊗A merupakan matriks Monge dan C=A⊗B merupakan matriks Invers Monge. Pada penelitian selanjutnya disarankan untuk membahas tentang nilai eigen dan vektor eigen matriks dalam Aljabar Max-Plus dengan menggunakan metode yang lain ataupun menggunakan matriks yang lain.

ENGLISH :

Max-Plus Algebra is one of the algebraic structure is a commutative idempotent semi-ring further a semi-field. Denoted as follows〖(R〗_max,⊕,⊗), and〖(R〗_max is the set R∪{ε}, where R is the set real numbers and ε=-∞, operations ⊕ stated maximum and operations ⊗ stated sum of normal real numbers. Max-Plus Algebra can be determined eigenvalues and eigenvectors matrix. This research discusses eigenvalues and eigenvectors Monge matrix, as well as properties of Monge matrix in Max-Plus Algebra. Matrix A with elements of real numbers measuring m×n called a Monge matrices, if and only if it satifies: α_ij+α_rs≤α_is+α_rj. In this research the authors will examine the properties of Monge matris in Max-Plus algebra and describe how to determine the eigenvalues and eigenvectors Monge matrix in Max-Plus Algebra.

The results obtained from the literature study the properties that meet Monge matrices in Max-Plus Algebra and algorithm to find eigenvalues and eigenvectors Monge matrix in Max-Plus Algebra. Properties that meet such as: idempotent, commutatif, assosiatif, distributif, element identity and element netral. Algorithm which use is (1) checking matrix A with condition α_ij+α_rs≤α_is+α_rj and constitue Monge matrix, (2) calculate eigenvalues from matrix A, (3) calculate eigenvectors from matrix A.

Monge matrix has eigenvalues and eigenvectors in the Max-Plus Algebra, whose can given with algorithm. Results C=A⊕B constitute Monge matrix, C=α⊗A constitute Monge matrix and C=A⊗B constitue inverse Monge matrix. It is advisable in future studies to discuss the eigenvalues and eigenvectors matrices in Max-Plus Algebra using another method or use another matrix.