Penggunaan metode householder dan metode-qr untuk mengaproksimasi nilai-nilai eigen matriks setangkup nyata

ABSTRAK

Nilai eigen merupakan salah satu bagian aljabar linear yang secara umum memberikan cara-cara yang mudah untuk mendapatkan solusi diberbagai bidang keilmuan. Nilai-nilai eigen untuk matriks-matriks sederhana seperti matriks kuadrat yang berukuran 2 dan 3 dapat dicari dengan menggunakan penyelesaian persamaan karakteristiknya. Akan tetapi untuk matriks yang berukuran besar, perhitungan persamaan karakteristiknya menjadi rumit.

Berdasarkan hal di atas maka diperlukan suatu metode yang lebih baik untuk menghitung nilai-nilai eigen suatu matriks yang berukuran besar yaitu dengan metode-QR. Sebelum penerapan metode-QR, suatu matriks A haruslah berbentuk Hessenberg atau bentuk tridiagonal setangkup. Jika kasusnya tidak demikian, maka matriks A harus direduksi ke dalam salah satu bentuk-bentuk tersebut.

Suatu matriks setangkup nyata A dapat direduksi menjadi bentuk matriks tridiagonal setangkup nyata dengan metode householder. Untuk itu penulisan ini bertujuan untuk mengetahui penggunaan metode householder dalam mereduksi matriks setangkup nyata menjadi bentuk matriks tridiagonal dan untuk mengetahui penggunaan metode-QR dalam mengaproksimasi nilai-nilai eigen matriks setangkup nyata. Pendekatan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah pendekatan kualitatif dengan metode kepustakaan.
Reduksi dalam metode householder dilakukan melalui transformasi keserupaan sebanyak /7-2 kali dengan menggunakan matrik-matriks householder p r (r =!,...,,7-2). Matriks-matriks p ini adalah orthogonal dan setangkup, pr-I - 2vrvfT, vf= [Vjr] adalah vektor satuan yang r komponen pertamanya adalah nol. Setelah n-2 kali transformasi keserupaan matriks A yang setangkup nyata akan dihasilkan matriks tridiagonal setangkup nyata B. Selanjutnya dalam metode-QR akan memfaktorkan matriks B؟ = Q R dan menentukan = R؟Q؟. Cara memperoleh faktorisasi-QR bagi matriks B ئ ini adalah dengan mengalikan B, dari kiri dengan matriks-matriks cj (/ = 2,..., sehingga diperoleh matriks segitiga atas R١ = c c-1 ... c 2«؟.

Matriks Bh yang diperoleh dari hasil metode-QR akan menuju ke-suatu bentuk matriks diagonal. Karena nilai-nilai eigen suatu matriks diagonal adalah semua unsur-unsur diagonalnya, maka dengan mudah dapat diketahui nilai-nilai eigen dari matriks tersebut.