Penyederhanaan persamaan Polinom Derajat Dua (bentuk kuadratik) dengan matriks simetrik

ABSTRAK

Aljabar Linear merupakan bagian dari cabang ilmu matematika yaitu Aljabar. Di dalamnya mengandung banyak materi yang dapat diterapkan pada cabang ilmu matematika yang lain. Untuk itulah dengan menggunakan penelitian kepustakaan, penulis berusaha mengkaji keterkaitan antara matriks sebagai bagian dari Aljabar Linear dengan bentuk kuadrat sebagai bagian dan cabang ilmu matematika Geometri. Melihat bahwa bentuk kuadrat dapat disederhanakan dengan menggunakan matriks simetrik, maka disusunlah sebuah karya ilmiah yang di dalamnya mengaitkan antara bentuk kuadrat dengan matriks simetrik dalam sebuah judul, Penyederhanaan Persamaan Polinom Bentuk Kuadratik dengan Matriks Simetrik.

Dengan mengambil judul seperti di atas, diharapkan dapat memperoleh suatu gambaran tentang proses penyederhanaan yang mana akan dihasilkan suatu bentuk kuadrat baru yang lebih sederhana dari bentuk kuadrat asal.

Suatu bentuk kuadrat mengandung kuadrat peubah-peubahnya dan mengandung peubah hasil kali silang. Bentuk tersebut dapat ditulis ke dalam bentuk matriks X٢AX, dimana A adalah matriks simetrik. Nilai eigen dan vektor eigen dari matriks simetrik (A) akan mengantarkan pada proses penyederhanaan, yaitu vektor eigen- vektor eigennya yang telah dinormalisasi akan membentuk suatu matriks orthogonal (Q). Selanjutnya matriks orthogonal akan mendiagonalisasi matriks A sehingga diperoleh matriks diagonal yang unsur diagonal utamanya adalah nilai eigen dari A. Dengan mensubstitusikan X = QX’ pada bentukzkuadrat X٢AX, akan dihasilkan sebuah persamaan bentuk kuadrat baru X’rAX’ yang hanya mengandung kuadrat peubah-peubahnya (tidak mengandung lagi peubah hasil kali silang), terlihat juga bahwa bentuk kuadrat baru mengalami perubahan peubah dari peubah x menjadi x'. Perubahan ini menggambarkan bahwa grafik dari bentuk kuadrat mengalami perputaran sumbu dari sumbu koordinat lama (x) ke sumbu koordinat yang baru (x٠).

Kesimpulan yang dapat diperoleh dari penulisan ini, bahwa penyederhanaan persamaan polinom bentuk kuadratik dengan matriks simetrik pada hakekatnya adalah rotasi sumbu yaitu memutar sumbu dari sistem koordinat lama x٠ ke sistem koordinat yang baru Xj ٠, x2 ke x2 ' dan seterusnya.