Diagonausasi Ortogonal persamaan kuadrat dalam sistem koordinat XVZ ke sistem koordinat XVZ pada posisi standart

ABSTRAK

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan dengan suku-suku dalam koefisien dan variabel yang berderajat dua. Sistem persamaan ax2 ب by2 ب cz2 2 بdxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = o merupakan persamaan kuadrat pada sistem koordinat xyz (kuadrik). Suatu kuardrik yang tidak mengalami degenerasi dikatakan berada dalam kedudukan standart relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat jika persamaannya mempunyai salah satu dari bentuk-bentuk yang diberikan pada gambar (lampiran 1). Dalam skripsi ini akan dibahas tentang diagonalisasi ortogonal persamaan kuadrat dalam sistem koordinat X y z ke dalam sistem koordinat x'y'z' yang berada pada posisi standart dan tidak mempunyai suku hasil kali silang xy, XZ, yz, dengan menggunakan metode kajian pustaka atau literatur. Sistim persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk matriks: الا Ax ب- Kx ب j : 0 di mana A adalah matriks simetri.

Masalah nilai eigen dan vektor eigen ortonormal sangat erat hubungannya dalam pendiagonalan matriks secara ortogonal. Nilai eigen A diperoleh dengan cara memecahkan persamaan (AJ-A)x = 0. untuk mendapatkan nilai ل sebagai nilai eigen maka harus ada pemecahan tidak nol dari persamaan (AJ-A)x = ٥, dan ini dapat dipenuhi jika dan hanya jika 0٠ = ام-٧را Vektor eigen ditentukan setelah nilai eigen ditemukan. Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt akan diperoleh vektor eigen yang ortonormal. Untuk menyelesaikan proses pendiagonalan secara ortogonal persamaan kuadrat ini, maka harus ditentukan matriks ortogonal p yang dapat mendiagonalisasi A secara ortogonal, di mana matriks ortogonal p merupakan matriks dengan vektor eigen ortonormal sebagai vektor-vektor kolomnya, sehingga dapat ditentukan matriks diagonal D = P٠IAP Dengan mensubstitusikan X = Px' ke persamaan X* Ax + Kx + j : 0 akan dihasilkan persamaan kuadrat dalam sistim koordinat واد':' yang berada pada posisi standart dan tidak mempunyai suku hasil kali silang xy, xz, dan yz.

Untuk memperjelas uraian di atas, maka dalam skripsi ini aka dibahas dua soal yaitu: 2x2 + 2y2 + 5z2 - 2xy — 4xz + 4yz-2x + 6z-4 = o dan X2 - 23y2 + z2 + 8xy + 6yz , 10x + 38y - 6z = 0. Setelah diselesaikan dengan metode diagonalisasi ortogonal, maka persamaan tersebut masing-masing berbentuk elipsoida dan hiperboloida berdaun satu.