Menentukan hasil perpangkatan matriks bujur sangkar dengan menggunakan Nilai Eigen

ABSTRAKS

Aljabar linear yang merupakan cabang dari aljabar merupakan alat ampuh untuk menganalisis suatu keadaan dengan beberapa komponen yang saling berinteraksi. Dalam aljabar linear terdapat pembahasan tentang matriks. Matriks adalah suatu kumpulan unsur-unsur yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya menunjukkan ordo dari matriks tersebut. Jika matriks A mempunyai baris dan kolom yang banyaknya sama, maka matriks A disebut matriks bujur sangkar.

Untuk menentukan hasil perpangkatan matriks bujur sangkar, dapat dilakukan dengan mengalikan matriks secara berulang, tetapi cara ini tidak efektif jika pangkatnya adalah bilangan bulat positif yang besar. Dalam skripsi ini penulis akan membahas bagaimana menentukan hasil perpangkatan matriks bujur sangkar dengan menggunakan nilai eigen. Adapun metode penelitian yang digunakan adalah metode penelitian kepustakaan (library research), yaitu penelitian yang dilakukan dengan cara mengumpulkan data dan informasi dengan bantuan bermacam-macam materi yang terdapat di ruangan perpustakaan.

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui ciri-ciri matriks bujur sangkar yang hasil perpangkatannya dapat ditentukan dengan menggunakan nilai eigen dan mengetahui langkah-langkah serta dapat menentukan hasil perpangkatannya. Jika A adalah matriks bujur sangkar, dengan menggunakan nilai eigen maka Ak dengan k elemen bilangan bulat positif dapat ditentukan dengan rumus
Ak - PDkP-1.
Rumus di atas diperoleh dari rumus pendiagonalan matriks, sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks yang hasil perpangkatannya dapat ditentukan dengan menggunakan nilai eigen adalah matriks bujur sangkar yang dapat didiagonalkan, yaitu matriks yang mempunyai vektor eigen yang bebas linear. Adapun langkah pertamanya adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen, kemudian menyusun matriks D, P, P’1 dan Dk. Selanjutnya hasil perpangkatan matriks dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai D, P, P٠1 dan Dk ke dalam rumus di atas. Penggunaan nilai eigen sangat efektif untuk pangkat bilangan bulat positif yang besar, karena tidak perlu melakukan perkalian matriks secara berulang.