Penyelesaian persamaan Diferensial Linear Homogen orde dua dengan koefisien peubah menggunakan Metode Frodenius

ABSTRAK

Persamaan diferensial biasa pada mulanya timbul dalam mekanika, yakni masalah gerak benda. Dengan berjalannya zaman, penerapan persamaan diferensial makin meluas. Teorema pendiferensialan dipakai untuk menyelesaikan suatu masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema limit. Teorema limit tersebut merupakan alternatif pemecahan dari penyelesaian secara fungsi.

Metode Frobenius merupakan metode untuk menyelesaikan PDLH orde dua dengan koefisien peubah disekitar titik singuler yang reguler dengan anggapan bahwa penyelesaiannya berbentuk deret kuasa Jika xo adalah titik singuler yang reguler dari suatu persamaan diferensial. Maka dapat diselesaikan persamaan diferensial tersebut di sekitar titik xo dengan anggapan ٠ ك0د٠د)ل٢(0ئ-د) = ئز Dari deret kuasa tersebut diturunkan dua kali berturut-turut, sehingga diperoleh nilai y’ dan رز’ yang berbentuk deret kuasa. Dari deret ٠۶١۶' dan y* disubtitusikan ke persamaan diferensial yang telah ada sehingga dapat dicari rumus rekursi dan persamaan indisial yang berbentuk persamaan kuadrat.

Akar-akar dari persamaan indisial tersebut mempengaruhi bentuk penyelesaian lain dari PDLH tersebut. Misal بم dan نر dua akar dari persamaan indisial PDLH yang ditandai بمةل٢ dimana بم ١بم e م maka salah satu penyelesaiannya berbentuk - 1= ' ت dan berlaku dalam هل« selang tanpa pusat 0<|جهم>ا0عح suatu penyelesaian kedua yang bebas linear y2(x) dapat diperoleh dengan ketentuan, jika ب٢2-بم bilangan bulat maka دا =(ت)2رز-•Xop١ ”(0د- د)ه٤ dimana٥0=l٠ Jika بم=٦حم, maka
.1= dimanabo ٠ ٣ 0ئ ح) „٥ ٤ ؛اا0د - 01 + |xد ٠ x)in|x) لرز ت (د) 2 y ص»
Jika ت بم- !٢ bilangan bulat maka0د-د)لاه±1م(0د-ل)+ا0داد|ج٢ر)ارزج=(د)2و y*
dengan ٠م٠بمجبم Metode ini dapat dipandang sebagai metode penghampiran, karena menghitung deret selalu berupa penghampiran dengan polinom saja.