Keterkaitan antara Grup Simetri (S) Dan Grup Dihedral (D2n)

ABSTRAK

Misab X adalah himpunan berhingga yang banyak anggotanya n, grup simetri himpunan berhingga Sn adalah kumpulan semua permutasi dari himpunan berhingga X. Suatu permutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari himpunan dengan n unsur ke himpunan itu sendiri. Sedangkan, suatu grup dari semua simetri (rotasi dan refleksi) dari segi-n beraturan disebut grup dihedral (Dzn) ٥ (e, r, ام ,...,تم, s, rs, ز8ام ل8تم. Grup simetri Sn ditinjau dari geometri maka unsur-unsur pada setiap permutasinya merupakan hasil rotasi pada setiap sudut tertentu, yaitu ; untuk setiap bilangan asli k dan hasil refleksi terhadap suatu garis bagi dari bangun geometri tertentu. Sedangkan rotasi dan refleksi itu tidak lain merupakan unsur-unsur dari grup dihedral. Dalam hal ini ada keterkaitan antara grup simetri dan grup dihedral. Keterkaitan disini adalah adanya korespondensi 1-1 antara grup simetri dan grup dihedral.

Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah 1) Bagaimana keterkaitan antara grup simetri-3 S) dan grup dihedral-6 (D٥)? 2) Bagaimana keterkaitan antara grup simetri-4 (54) dan grup dihedral-8 (Ds)?. Adapun tujuan penelitiannya adalah 1) Mengetahui keterkaitan antara grup simetri-3 (53) dan grup dihedral-6 (D،). 2) Mengetahui keterkaitan antara grup simetri-4 (S*) dan grup dihedral-8 (D8).

Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1) Pada grup simetri-3 S) permutasi pt : (1 2 3), p2 ٠ (1 3 2), dan p3 : (1) (2) (3) = 1 berturut-turut berkorespondensi 1-1 dengan rotasi sejauh 0٥, 240و٥ dan 3600 searah jarum jam dari segitiga sama sisi. Sedangkan Pi : (2 3),P2 = (1 3), dan P3 = (1 2) berkorespondensi 1-1 dengan refleksi terhadap garis bagi segitiga sama sisi yang melalui titik sudut A, B, dan c. Dan diperoleh 3 korespondensi 1-1 antara S3 = {pi, p2, p3, pi, اولمر ل2لإ dan Dآ ٥ (r, تم ,تم, s, sr, 8تم} yaitu: jika rpi dan S~P1, jika rpi dan S~P2 , dan jika rpi dan S~P3٠ 2) Pada grup simetri-4 S) permutasi Pi = (1 2 3 4), P2 = (1 3) (2 4), P3 = (l 4 3 2) dan p4 = (1) (2) (3) (4) 1 ئ berturut-turut berkorespondensi 1-1 dengan rotasi sejauh 90٥, 180٥, 270٥ dan 360٥ searah jarum jam dari segiempat beraturan. Sedangkan PJ 4 2) ع), P2 = (1 3), P3 = (l 4) (2 3) dan p* = (12) (3 4) berkorespondensi 1-1 dengan refleksi terhadap garis bagi segiempat beraturan yang melalui titik sudut A, B, c, dan D. Dan diperoleh 4 korespondensi 1-1 antara S4 = {pi, p2, p3, p4, Pi, p2, وولمر p*} dan D8 : {r, تم ,تم ,تم, s, sr, تمة ,تمة) yaitu: jika rpi dan S-Pb jika rpi dan S~P2, jika rpi dan S~P3, dan jika rpi dan S~P4٠