Aplikasi transformasi laplace pada persamaan diferensial

ABSTRAK

Banyak fenomena-fenomena yang melahirkan model matematika, namun model matematikanya mengandung laju perubahan. Karena laju perubahan dinyatakan dalam berbagai turunan, maka muncullah persamaan, yaitu persamaan diferensial.

Dalam teori kalkulus operasional, suatu teknik matematis yang telah terbukti sebagai suatu metode yang hebat kemampuannya dalam menyelesaikan persamaan diferensial dan analisis umum adalah Transformasi Laplace. Karena transformasi Laplace memberikan cara-cara yang mudah dan efektif dalam mendapatkan solusi dari persamaan diferensial dibandingkan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial dengan metode klasik yang memerlukan banyak manipulasi.
Transformasi Laplace yang didefinisikan dengan:
£{F(t)}٠J eF(t) dt
٢l١dt?I ال"ج١آ١١\ :
= f(s)

asalkan nilainya ada dengan s parameter real. Transformasi Laplace dari fungsi F(t) dikatakan ada jika integral di atas konvergen untuk suatu nilai s. Dengan F(t) suatu fungsi yang didefinisikan untuk semua t > 0.

Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian persamaan diferensial dengan koefisien konstanta dengan masalah nilai awal menggunakan Transformasi Laplace adalah sebagai berikut:

1. Gunakan transformasi laplace pada kedua ruas persamaan diferensial, dan aplikasikan sifat Transrormasi Laplace dari turunannya serta gunakan nilai awal pada prosesnya, juga samakan hasilnya untuk mendapatkan persamaan aljabar pada variabel Y(s).
2. Selesaikan persamaan aljabar untuk menentukan Y(s).
3. Setelah Y(s) didapatkan, gunakan tabel transformasi Laplace untuk menentukan solusi y(t) = £٠i{Y(s)} dari pemberian masalah nilai awal.