Penyelesaian masalah kuadrat terkecil dalam sistem persamaan linier dengan proses Gramm-Schmidt yang dimodifikasi

ABSTRAK

Sistem persamaan linier dengan persamaan lebih banyak daripada variabel, pada umumnya tidak mempunyai selesaian. Agar sistem tersebut minimal dapat mendekati nilai selesaian yang diminta dan dapat memperkecil penyimpangan yang jauh, maka harus diberlakukan suatu metode. Metode tersebut adalah metode kuadrat terkecil, yaitu suatu tehnik standar dalam pemodelan matematika dan statistik yang memberikan pendekatan optimal dengan membuat jumlah dari kuadrat galat (kesalahan) menjadi minimum.

Penyelesaian masalah kuadrat terkecil dapat dilakukan dengan penerapan metode Gramm-Schmidt yang dimodifikasi, karena dengan penggunaan proses ini memberi keuntungan pada perhitungan yang melibatkan perhitungan ilmu hitung presisi hingga. Untuk itu penulis memilih topik ini yang diharapkan dapat dapat memberikan sedikit alternatif solusi dari permasalahan yang -melibatku:'، penggunaan metode kuadrat terkecil.

Proses penyelesaian kuadrat terkecil dalam sistem persamaan linier dengan proses Gramm-Schmidt yang dimodifikasi, secara singkat dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan sistem persamaan linier Ax = b dengan persamaan lebih banyak daripada variabel dengan A = [ai].a1 adalah kolom dari A dengan i = 1. 2....,n, dan b adalah sebarang nilai untuk Ax. Misalkan himpunan orthonormal yang akan dihasilkan adalah {q1, q2, ..., qn}. maka langkah menyelesaikan masalah kuadrat terkecil dengan proses Gramm-Schmidt yang dimodifikasi adalah:
1. Sebagai langkah awal, menentukan vektor q.
2. Langkah kedua vektor-vektor a2,a3,.....,a diorthogonalkan terhadap q1 dengan terlebih dahulu.
3. Langkah ketiga, vektor a3,a4,...,an diorgorthogonalkan terhadap q2.
4. Langkah selanjutnya, diberlakukan faktorisasi QR pada matriks A dengan Q adalah suatu matriks m x n dengan kolom-kolom orthonormal, yaitu q1,q2٠٠٠,qn dan R adalah suatu matriks n x n yang merupakan matriks segitiga atas dan invertible.
5. Pada langkah akhir, ditentukan QT untuk dikalikan dengan kedua ruas pada Ax = b. Dengan mengasumsikan bahwa A = QR, maka akan diperoleh sistem persamaan Rx : QTb. yang selanjutnya akan didapat nilai X yang merupakan sclesaian kuadrat terkecil.