Kajian Teorema Hamilton Caeley

ABSTRAK

Dalam Aljabar Linier, banyak sekali permasalahan-permasalahan yang muncul terutama dalam menghitung pangkat suatu matriks bujur sangkar, dengan pangkat bilangan bulat. Misalkan A matriks bujur sangkar ordo 3x3 dan ditanyakan A5, maka 5مdapat dicari dengan cara perpangkatan matriks yaitu: م = 5م? A2 A = ٨٨٨٨٨ Berdasarkan permasalahan ini, penulis akan membahas tentang perhitungan matriks dan invers matriks yang dipangkatkan dengan metode yang lebih efisien yaitu menggunakan Teorema Hamilton Caeley.

Dalam Teorema Hamilton Caeley menyatakan bahwa ”Jika A sebuah matriks bujur sangkar dan د)م)adalah polinom karakteristik dari A, maka P(A) = 0”. Teorema ini memuat hubungan antara matriks dengan polinom karakteristik. Bentuk umum polinom karakterisik adalah 0 = 0لا ب دالا ب ٠ ٠ ٠ ب ال"د1_„لا ب "ده = (د)م,

o.....pers (1) sehingga= ر0ه ب U\A + ٠٠٠ + 1)" .Maka P(A) =(1/ +a)l_\A"'1-)= „لا
Teorema Hamilton Caeley terbukti. Dari persamaan( 1), maka dapat dicari A . ا لم0لا + م,لا+هم2لا)-= ام).....pers (2) dan dengan mengalikan kedua ruas pada pers(2) dengan 2م, maka dij5eroleh^5=-(٥2^^+٥٥+١^(٥^2) Sedangkan untuk mencari invers matriks dapat digunakan persamaan (2), sehingga A~\ --ااهبم2لاب 42)ث) dan kemudian dengan mengalikan kedua ruas dengan a 0
لام, maka diperoleh A'5 = -٠( '-ماه + ذ"م2ه + 2"م)ل
م

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa dalam menghitung pangkat matriks dengan menggunakan Teorema Hamilton Caeley, perkaliannya menjadi perkalian matriks dengan skalar. Sedangkan kalau dihitung dengan cara biasa perkaliannya adalah matriks dengan matriks. Dan penulis menyarankan bagi yang berminat dalam masalah ini, dapat menerapkannya dalam bidang yang lain.