Implikasi pemilihan Delta Positif dalam pembuktian limit fungsi rasional dengan satu Peubah

ABSTRAK

Ciri yang sangat khas dari matematika adalah bahwa ia bekerja dengan menggunakan metode deduktif, yaitu berangkat dari patokan fikir-patokan fikir yang ditetapkan di awal (definisi, sifat, postulat) kemudian melalui penalaran yang logis dan ketat dapat diturunkan berbagai pernyataan (dalil atau teorema) yang dapat dipastikan kebenarannya, sehingga kebenaran atas pernyataan yang diturunkan tersebut haruslah senantiasa dapat ditunjukkan dengan serangkaian pembuktian.

Jika terdapat pemyataan lim f(x) = L, maka pernyataan ini akan diakui benar hanya jika pernyataan tersebut telah ditunjukkan dengan serangkaian pembuktian. Pembuktian yang sangat lazim dilakukan untuk hal ini adalah pembuktian dengan menggunakan definisi.

Dengan demikian persoalan inti dari pembuktian limit fungsi adalah bagaimana kita dapat memilih 0 sehingga memenuhi definisi tersebut. Adapun yang sangat lazim dilakukan seperti dalam kebanyakan buku adalah pemilihan 8 dengan batasan 0 < 1. Hal ini dilakukan karena definisi intuitif limit fungsi mengharapkan agar 0 dan £ adalah yang sekecil mungkin, sehingga dengan pembatasan 0 < 1 dianggap telah cukup.

Pemilihan batas 8 < 1 tersebut seakan sama sekali tidak menimbulkan masalah dalam penyusunan pembuktian, dan hal ini kadang membuat kita terbiasa untuk mengikutinya begitu saja. Padahal tidak selalu pengambilan 8 < 1 tersebut dapat terpenuhi, hal ini terutama untuk limit fungsi rasional, yang kadang terdapat suatu titik yang menyebabkan fungsi tak terdefinisi.

Skripsi ini akan menunjukkan bahwa terdapat pembuktian limit fungsi yang gagal disusun (tidak sah) sebagai akibat dari pemilihan 0 < 1. Yaitu dengan mencontohkan lim = 2. Pengambilan 0 < 1 memberikan pengertian bahwa x
berada pada selang interval yang didalamnya memuat x = 0, dimana titik ini membuat fungsi tidak terdefinisi. Sehingga pemilihan 8< 1 tersebut menjadikan pembuktian gagal disusun (tidak sah). Agar pembuktian menjadi sah jnaka selang interval dari X harus dipersempit lagi sehingga terdefinisi di setiap x kecuali di titik limit itu sendiri.