Analisis dinamik dari model matematika respon imun anti-tumor

INDONESIA:

Pada penelitian ini membahas mengenai analisis dinamik model matematika respon imun anti-tumor, bifurkasi Hopf, dan simulasi numerik dengan menggunakan metode ode45. Model matematika respon imun anti-tumor terdiri dari tiga kompartemen yakni Limfosit T Muda (L_1), Limfosit T Dewasa (L_2) dan Sel Tumor (T). Penelitian ini dilakukan untuk merepresentasikan perilaku antara sel imun dan sel tumor yang ada di dalam tubuh dengan lima kondisi γ. Dimana γ merupakan laju pertumbuhan intrinsik limfosit T dewasa pada kondisi tertentu. Analisis dinamik dilakukan dengan menentukan titik kesetimbangan, bilangan reproduksi dasar (R_0), dan analisis kestabilan titik kesetimbangan. Penelitian ini menghasilkan nilai R_0>1 pada kondisi 1 sampai 4 sedangkan pada kondisi 5 menghasilkan nilai R_0<1. Titik kesetimbangan bebas penyakit bersifat stabil hanya pada kondisi 5, sedangkan titik kesetimbangan endemik bersifat stabil hanya pada kondisi 2 dan 4. Analisis bifurkasi Hopf dilakukan dengan membuktikan titik kesetimbangan mempunyai sepasang nilai eigen murni imajiner dan nilai eigen lainnya tak nol, serta nilai transversalnya tidak sama dengan nol. Hasil dari penelitian ini diperoleh bahwa bifurkasi Hopf terjadi pada titik kesetimbangan endemik karena semua syarat terpenuhi. Simulasi numerik dilakukan saat kondisi bebas penyakit dan kondisi endemik dengan γ sebagai parameter pengganggu. Grafik Simulasi numerik pada kondisi 1 menunjukkan sel tumor akan meningkat tak terkendali. Pada kondisi 2 hasil grafik menunjukkan titik kesetimbangan endemik tumor besar stabil. Pada kondisi 3 hasil grafik menunjukkan akan mengalami bifurkasi dari titik kesetimbangan endemik oleh gangguan dari nilai parameter γ. Pada kondisi 4 hasil grafik menunjukkan titik kesetimbangan endemik tumor kecil stabil. Terakhir pada kondisi 5 hasil grafik menunjukkan titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Dari semua hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa meskipun model matematis yang digunakan sederhana, namun sistem ini menunjukkan sifat dinamis yang bervariasi, sehingga beberapa fenomena yang diamati secara klinis menjadi sangat jelas.

ENGLISH:

This study discusses the dynamic analysis of the mathematical model of the anti-tumor immune response, the Hopf bifurcation, and numerical simulations using the ode45 method. The mathematical model of the anti-tumor immune response consists of three compartments namely Immature Lymphocytes (L_1), Mature Lymphocytes (L_2) and Tumor Cells (T). This research was conducted to represent the behavior between immune cells and tumor cells in the body with five γ conditions. Where γ is the intrinsic growth rate of mature T lymphocytes under certain conditions. Dynamic analysis is carried out by determining the equilibrium point, the basic reproduction number (R_0), and analyzing the stability of the equilibrium point. This study produces R_0>1 in conditions 1 to 4 while in condition 5 produces R_0<1. The disease-free equilibrium point is stable only in condition 5, while the endemic equilibrium point is stable only in conditions 2 and 4. Hopf bifurcation analysis is performed by proving that the equilibrium point has a pair of imaginary pure eigenvalues and the other eigenvalues are non-zero, and the transverse values are not the same with zero. The results of this study show that the Hopf bifurcation occurs at the endemic equilibrium point because all conditions are met. Numerical simulations were carried out under disease-free and endemic conditions with γ as a confounding parameter. Numerical simulation graph in condition 1 shows that tumor cells will increase uncontrollably. In condition 2 the graph show that the endemic equilibrium point for large tumors is stable. In condition 3 the graph show that there will be a bifurcation from the endemic equilibrium point by the disturbance of the parameter value γ. In condition 4 the graph show the small tumor endemic equilibrium point is stable. Finally, in condition 5, the graph show a stable disease-free equilibrium point. From all the results obtained it can be concluded that although the mathematical model used is simple, this system exhibits variable dynamic properties, which can make some clinically observed phenomena very clear.

ARABIC:

يناقش هذا البحث التحليل الديناميكي للنموذج الرياضي للاستجابة المناعية ضد الورم وتشعب هوبف والمحاكاة العددية باستخدام طريقة ode45. يتكون هذا النموذج من ثلاث حجرات هي الخلايا الليمفاوية التائية الصغيرة (L_1) والخلايا اللمفاوية التائية البالغة (L_2) وخلايا الورم (T). تمثل هذه الدراسة السلوك بين الخلايا المناعية والخلايا السرطانية بخمسة حالات من γ. حيث γ هو معدل النمو الجوهري للخلايا اللمفاوية التائية الناضجة في ظل ظروف معينة. يتم إجراء التحليل الديناميكي عن طريق تحديد نقطة التوازن ، ورقم التكاثر الأساسي (R_0) ، وتحليل ثبات نقطة التوازن. تنتج هذه الدراسة قيمة R_0>١ في الظروف من ١ إلى ٤ بينما في الحالة ٥ تنتج قيمة R_0<١. تكون نقطة التوازن الخالية من الأمراض مستقرة في الحالة ٥ ، بينما تكون نقطة التوازن المتوطنة مستقرة في الظروف ٢ و ٤. يثبت تحليل تشعب هوبف نقطة التوازن لها زوج من قيم ذاتية خيالية خالصة وقيم ذاتية أخرى غير صفرية ، وقيمتها العرضية لا تساوي الصفر. ينتج عن هذا البحث نقطة التوازن المتوطنة حيث يحدث تشعب هوبف .تظهر المحاكاة العددية للرسم البياني في الحالة ١ أن الخلايا السرطانية ستزداد دون حسيب ولا رقيب. في الحالة ٢ ، تظهر نتائج الرسم البياني أن نقطة التوازن المتوطنة للأورام الكبيرة مستقرة. في الحالة ٣ ، تُظهر نتائج الرسم البياني أنه سيكون هناك تشعب من نقطة التوازن المستوطنة عن طريق الاضطرابات من قيمة المعلمة γ. في الحالة ٤ ، تظهر نتائج الرسم البياني أن نقطة التوازن الصغيرة المتوطنة للورم مستقرة. أخيرًا ، في الحالة ٥ ، تُظهر نتائج الرسم البياني نقطة توازن مستقرة خالية من الأمراض. تم الاستنتاج أنه على الرغم من أن النموذج الرياضي بسيط ، إلا أنه يمكن أن يظهر خصائص ديناميكية متغيرة ، بحيث تصبح بعض الظواهر المرصودة سريريًا واضحة جدًا.