Super Edge Magic Labeling pada Graph Ulat Model dengan Panjang n Titik

ABSTRAK

Pelabelan total sisi ajaib super (edge magic total labeling) pada suatu graph (V, E) dengan order p dan ukuran q adalah fungsi bijektif f dari V E ke himpunan {1, 2, 3, …, p + q} sehingga untuk masing-masing sisi xy di G berlaku f(x) + f(xy) + f(y) = k, dengan k konstanta. Pelabelan total sisi ajaib yang memetakan V ke {1, 2,…, p} disebut pelabelan sisi ajaib super (super edge-magic labeling). Graph yang dapat dikenakan pelabelan sisi ajaib super disebut graph sisi ajaib super. Pada karya tulis ini akan dijelaskan bahwa graph ulat model dengan panjang n, untuk n bilangan asli, adalah sisi ajaib super. Graph ulat model dengan panjang n dapat digambar sebagai berikut:

Dengan demikian maka himpunan titik pada n adalah
V ( n ) = {x1, x2, x3, v1, v2, v3, ... , vn-1, vn}
dan himpunan sisi pada n adalah
E ( n ) = {x1v1, x2 v1, x3 v1, v1 v2, v2 v3, v3 v4, ... , vn-1vn}
Jadi, order dari n adalah p ( n ) = n+3
dan ukuran dari n adalah q( n) = n+2
Jadi, p( n ) + q( n ) = 2n + 5.

Pelabelan super sisi ajaib pada graph ulat model dengan panjang n, n bilangan asli ganjil adalah fungsi f dari V ( n ) E ( n ) ke {1, 2, 3, …, 2n+5} yang didefinisikan sebagai berikut:
f(xi) = i untuk i = 1,2,3
f(vi) = n +i+6 / 2 untuk i ganjil 1≤ i ≤ n
f(vi) = i + 6 / 2 untuk i genap 1≤ i ≤ n
f(xiv1) = 2n – i + 6 untuk i = 1,2,3
f(v1v2) = 2n – i + 3 untuk i = 1,2,3, … , n-1
Bilangan ajaibnya adalah k = 5n +19 / 2

Pelabelan super sisi ajaib pada graph ulat model dengan panjang n, n bilangan asli genap adalah fungsi f dari V ( n ) E ( n ) ke {1, 2, 3, …, 2n+5} yang didefinisikan sebagai berikut:
f(xi) = i untuk i = 1,2,3
(vi) = n +i+7 / 2 untuk i ganjil 1≤ i ≤ n
f(vi) = i + 6 / 2 untuk i genap 1≤ i ≤ n
f(xiv1) = (2n) – i + 6 untuk i = 1,2,3
f(v1v2) = 2n – i + 3 untuk i = 1,2,3, … , n-1
Bilangan ajaibnya adalah k = 5n +20 / 2

Saran yang dapat disampaikan berkaitan dengan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut.
a. Kepada pembaca yang tertarik pada teori graph disarankan untuk melakukan penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada jenis-jenis graph ulat lainnya.
b. Kepada pembaca yang tertarik pada teori graph disarankan untuk melakukan penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada jenis graph yang lain.
c. Kepada pembaca, khususnya mahasiswa jurusan matematika yang tertarik pada teori graph, disarankan untuk melakukan penelitian serupa yakni mengenai pelabelan super sisi ajaib pada graph ulat model dengan panjang n, n
bilangan asli. Hal ini dilakukan karena pelabelan merupakan pengkonstruksian
fungsi, maka dimungkinkan peneliti yang lain menemukan rumus fungsi yang lain sehingga graph ulat tersebut tetap super sisi ajaib.