Kajian Homomorfisme modul atas Ring Komutatif

ABSTRAK

Materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang himpunan dan operasinya. Dan selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen-elemen yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian ataupun keduanya dan juga oleh operasi biner yang lainnya

Struktur aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifat-sifat tertentu dikenal dengan grup. Sedangkan untuk himpunan yang tidak kosong dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan ring. Pada struktur aljabar yang lain juga dibahas tentang modul. Misal (R, +, *) ring, (M, +) grup abelian. Jika ada pemetaan dari R × M → M yang memenuhi sifat-sifat (1) (r + s) m = r m + sm (2) (r m) m = r (sm) (3) r (m + n) = r m + r n dan (4) 1 m = m, untuk semua r, s ∈ R, m ∈ M.

Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkaan menjadi beberapa sub pembahasan, di antaranya adalah homomorfisme. Diantara sifat-sifat homomorfisme modul, ada yang dinyatakan dalam teorema dasar isomorfisme modul. Yaitu pertama, jika suatu pemetaan ϕ : M → N adalah homomorfisme R-module, maka ker ϕ adalah submodul dari M dan M/ker ϕ ≅ ϕ (M ). Kedua Misal A, B adalah submodul dari R-modul M, maka (A + B)/B ≅ A/(A ∩ B ). Dan yang ketiga Misalkan M adalah R-modul, dan misalkan A dan B adalah submodul dari M dengan A ⊆ B , maka (M/A) (B/A) ≅ M/B.