Penerapan Diagonalisasi Matriks dalam menyelesaikan persamaan Diferensial Linier Homogen Orde-n

ABSTRAK

Persamaan diferensial linier homogen dapat diselesaikan dengan menggunakan diagonalisasi matriks Dengan diagonalisasi matriks koefisien suatu persamaan dibentuk menjadi matriks diagonal sehingga persamaan yang semula melibatkan banyak fungsi yang tidak diketahui menjadi persamaan yang hanya mempunyai satu fungsi yang tak diketahui sehingga persamaan tersebut mudah untuk dipecahkan.

Tujuan dari penulisan ini adalah: untuk mengetahui cara penggunaan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan.

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Dimana penulis mengumpulkan beberapa buku penunjang yaitu: aljabar linier elementer, persamaan diferensial dan Literatur pendamping lainnya. Dengan cara membaca dan memahami materi yang berkaitan dengan pokok bahasan, kemudian dari buku-buku tersebut digabungkan beberapa teori yang terkait dari satu mata kuliah yang kemudian mengaplikasikannya pada mata kuliah lainnya.

Langkah-langkah menyelesaikan sistem PD dengan cara diagonalisasi matriks adalah. (1) Dengan menyatakan persamaan diferensial di dalam bentuk matriks Y’=AY dengan A sebagai matriks koefisien. (2) menentukan nilai-nilai eigen (λ1, λ2,…,λn) dari (A – I)Y=0. (3) menentukan vektor eigen dari matriks A yang yang bersesuaian dengan λ yaitu p1, p2,…,pn dari vektor eigen itu dibentuk sebuah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A. (4) dicari matriks invers dari P yaitu P-1. (5) proses diagonalisasi matriks A (D=P-1 AP). (6) proses penyulihan (substitusi) Y=PU dan Y’=PU’ untuk mendapatkan “sistem diagonal” yang baru U=DU, dengan D=P-1AP, dengan memecahkan U’=DU diperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial linier homogen orde-n. (7) untuk memperoleh penyelesaian matriks yang baru diperoleh (U’) dibentuk ke dalam y = cerx.

Apabila nilai eigen yang diperoleh real dan berlainan (λ1≠λ2≠…≠ λn) maka penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x)=c1eπ1x + c1eπ2x +….c1eπnx. Apabila nilai eigennya real dan berulang (λ1 = λ2 =…= λn) maka penyelesaian dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Jordan (J) yang tidak lagi berupa matriks diagonal. Sehingga untuk mencari matriks non singular P digunakan persamaan PJ=AP. Karena PJ=AP maka J=P-1 AP dan Y=PU, maka dari Y’=PU’ diperoleh U’=JU sebagai pemecahan dari persamaan diferensial. Jadi penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x) = c1eπx (c1 + c2x
+ c3e2 +…+ cnxn-1). Apabila nilai eigennya bilangan imajiner (λ1,2 = a ± bi) maka penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n adalah: y(x) = eax (cos bx + sin bx).