Automorfisme Graf Pembagi Nol dari Gelanggang Himpunan Bilangan Bulat Modulo Tak Prima

ABSTRAK

Pembahasan graf dalam ranah gelanggang menjadi salah satu hal yang menarik. Suatu unsur tak nol x di gelanggang R dikatakan pembagi nol jika terdapat unsur tak nol y∈R sedemikian sehingga xy=0. Gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan R dinamakan daerah integral jika R tidak memiliki unsur pembagi nol. Graf pembagi nol dari gelanggang komutatif adalah suatu graf dengan titik-titiknya adalah unsur pembagi nol dari gelanggang R dan dua titik terhubung jika perkalian kedua titiknya adalah nol. Hal tersebut menyebabkan tidak terdapat graf pembagi nol dari daerah integral. Automorfisme suatu graf pembagi nol dari gelanggang R merupakan suatu permutasi himpunan titik-titik V(G) yang mengawetkan keterhubungan langsung dan tidak terhubung langsung. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui banyaknya automorfisme graf pembagi nol dari gelanggang himpunan bilangan bulat modulo tak prima. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kepustakaan.

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diperoleh: (1) Graf pembagi nol dari Z_n (Γ( Z_n )) dengan n=2p,p≥3 dan p bilangan prima memiliki automorfisme sebanyak (p-1)!, (2) Graf pembagi nol dari Z_n (Γ( Z_n )) dengan n=p^2,p≥2 dan p bilangan prima memiliki automorfisme sebanyak (p-1)!, dan (3) Graf pembagi nol dari Z_n (Γ( Z_n )) dengan n=3p,p≥5 dan p bilangan prima memiliki automorfisme sebanyak 2×(p-1)!

ABSTRACT

Discussion of the graph in the arena of ring becomes one of the interesting topics. A nonzero element x in a ring R is said to be a zero divisor if there is a nonzero element y∈R such that xy=0. A commutative ring with identity R is said to be integral domain if R has no zero divisor element. The zero divisor graph of the commutative ring is a graph which the vertices are the zero divisor elements of ring R and two vertices are connected if the multiplication of the two vertices is zero. This causes no zero divisor graph of integral domain. Automorphism of zero divisor graphs from ring R is a permutation of V(G) that preserves adjacency (and non adjacency). The purpose of this study was to know how many zero divisor graph automorphism from the ring of non prime integers modulo. The method used in this study is literature study.

Based on the results of the discussion, it obtained: (1) The number of automorphism of the zero divisor graph of Z_n (Γ( Z_n )) where n=2p,p≥3 and prime integer p is (p-1)!, (2) The number of automorphism of the zero divisor graph of Z_n (Γ( Z_n )) where n=p^2,p≥2 and prime integer p is (p-1)!, and (3) The number of automorphism of Z_n (Γ( Z_n )) where n=3p,p≥5 and prime integer p is 2×(p-1)!