Perbandingan Metode Jarrow-Rudd Tree dan Cox Ross-Rubinstein Tree dalam penentuan Nilai Opsi Vanilla Tipe Eropa

ABSTRAK

Saham merupakan investasi yang beresiko tinggi, sehingga dibutuhkan opsi untuk mengurangi resiko dalam saham. Penentuan nilai opsi secara analitik menggunakan model Black-Scholes dan beberapa pendekatan metode secara numerik salah satunya adalah metode Cox Ross-Rubinstein (CRR) Tree. Metode Jarrow-Rudd (JR) Tree merupakan modifikasi dari metode CRR Tree untuk menghitung nilai opsi secara numerik.

Penelitian ini menggunakan metode JR Tree dan CRR Tree pada penentuan nilai opsi vanilla (call dan put) tipe Eropa. Tujuan penelitian ini untuk mengetahui perbandingan dari kedua metode tersebut terhadap solusi analitik Black-Scholes setelah dilakukan proses aproksimasi analitik dan simulasi numerik. Partisi yang digunakan dalam simulasi numerik sebanyak 200 untuk melihat konvergensi nilai opsi call dan put dari kedua metode, yakni JR Tree dan CRR Tree.

Hasil simulasi numerik pada metode JR Tree tidak berbeda jauh dengan hasil perhitungan menggunakan model Black-Scholes. Semakin banyak partisi yang dilakukan, semakin nilai opsi mendekati nilai analitik (Black-Scholes). Dengan demikian, metode Jarrow-Rudd Tree dalam penentuan nilai opsi call dan put lebih cepat konvergen pada nilai Black-Scholes. Hal ini juga dibuktikan dengan nilai error dari kedua metode yang menunjukkan bahwa nilai error Jarrow-Rudd Tree lebih cepat konvergen menuju angka nol.

ABSTRACT

Stock is a high-risk investment, so an option is needed to reduce the risk in stocks. Analytical determination of option value uses the Black-Scholes model and several numerical method approaches, one of which is the Cox Ross-Rubinstein (CRR) Tree method. The Jarrow-Rudd (JR) Tree method is a modification of the CRR Tree method to calculate the option value numerically.

This study uses the JR Tree and CRR Tree methods in determining the value of the European vanilla option (call and put). The purpose of this study was to determine the comparison of the two methods to the Black-Scholes analytical solution after analyzing approximation processes and numerical simulations. The 200 partitions were used in the numerical simulation to see the convergence of the call and put option values of the two methods, the JR Tree and CRR Tree.

The numerical simulation results on the JR Tree method are not much different from the results of calculations using the Black-Scholes model. The more partitions performed, the more the option value approached the analytical value (Black-Scholes). Thus, the Jarrow-Rudd Tree method in determining the value of call and put options converge faster on the Black-Scholes value. This is also evidenced by the error value of the two methods which show that the Jarrow-Rudd Tree error value converges faster to zero.

مستخلص البحث

السهم هو الاستثمار الذي يمتلك المخاطرة العالية فإنه في الحاجة إلى الخيار لتقليل المخاطرة. ويستخدم تعيين قيمة الخيار تحليليا نموذج أسود سكولز وبعض مداخل الطرق بشكل عددي، منها طريقة شجرة شوكس روبينستين. إن طريقة شجرة جارو رود هي التغيير من طريقة شجرة شوكس روبينستين التي تُستخدَم لحساب قيمة الخيار بشكل عددي.

يستخدم هذا البحث طريقة شجرة جارو رود وطريقة شجرة شوكس روبينستين لتعيين القيمة من خيار فانيلا (الدعوة والوضع) بشكل أوروبا. يهدف هذا البحث إلى معرفة المقارنة بين هتين الطريقتين على الحل التحليلي لأسود سكولز بعد قيام عملية التقارب التحليلي والتظاهر العددي. وعدد الأجزاء المستخدمة في التظاهر العددي هي 200، لنظر تقارب القيمة من خيار الدعوة والوضع من هتين الطريقتين، طريقة شجرة جارو رود وطريقة شجرة شوكس روبينستين.

لا تخالف كثيرا نتيجة التظاهر العددي في طريقة شجرة جارو رود عن نتيجة الحساب باستخدام نموذج أسود سكولز. كلما زاد الجزء الذي يقام، تقربت قيمة الخيار بالقيمة التحليلية (أسود سكولز). لذلك يمكن القول أن طريقة شجرة جارو رود في تعيين قيمة خيار الدعوة والوضع أسرع في التقارب لقيمة أسود سكولز. ويمكن برهانها من خلال القيمة الخاطئة من هتين الطريقتين التي تدل على أن القيمة الخاطئة من شجرة جارو رود أسرع في التقارب إلى رقم الصفر.